Fonctions logarithme et exponentielle : propriétés et applications

📋 Plan du Cours

1. Rappels importants ln et exp
2. Résolution d'équations ln et exp
3. Inéquations avec ln et exp
4. Étude de fonctions (dérivées, limites)
5. Nombres complexes (forme, module, argument)
6. Formes trigonométriques et exponentielles
7. Dérivation et primitives

📖 1. Rappels importants ln et exp

🔑 Notions clés & Définitions

Domaine de définition de $\ln(x)$ :
La fonction logarithme népérien $\ln(x)$ est définie uniquement pour les valeurs de $x$ strictement positives, c’est-à-dire $x > 0$. Cela signifie que pour tout réel $x$, si $x \leq 0$, alors $\ln(x)$ n’est pas défini dans le cadre de la fonction logarithme. Par exemple, $\ln(1) = 0$, $\ln(2) \approx 0,693$, mais $\ln(-1)$ ou $\ln(0)$ ne sont pas définis.
Ce domaine limite la portée de la fonction, ce qui est essentiel pour garantir la cohérence des opérations et des propriétés qui suivent.

Positivité de $e^x$ :
La fonction exponentielle $e^x$ est strictement positive pour tout réel $x$. Autrement dit, peu importe la valeur de $x$, $e^x > 0$. Par exemple, $e^{0} = 1$, $e^{1} \approx 2,718$, et même pour $x = -5$, $e^{-5} \approx 0,0067$. Cette propriété garantit que l’image de $e^x$ est l’ensemble $(0, +\infty)$, ce qui est crucial pour la définition de la fonction logarithme, puisque celle-ci est l’inverse de $e^x$.