Revision sheet: Généralités sur les suites

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une suite numérique
2. Suites définies explicitement
3. Suites définies par récurrence
4. Représentation graphique des suites
5. Variations d’une suite

📖 1. Définition d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une liste ordonnée de nombres telle qu’à tout entier n on associe un nombre réel noté uₙ.
• Rang : Dans une suite, n est appelé le rang et uₙ désigne le terme associé à ce rang.

📝 Points essentiels

• Une suite peut être associée à une fonction u définie de ℕ vers ℝ par n ↦ u(n)=uₙ.

• La suite des nombres impairs rangés dans l’ordre croissant commence par 1, 3, 5 et 7, avec u₀=1, u₁=3, u₂=5 et u₃=7.

• Archimède de Syracuse, vécu de −287 à −212, a utilisé une procédure itérative d’encadrement du cercle par des polygones pour approcher le nombre π.

💡 Astuce mémo

Rang → terme

📖 2. Suites définies explicitement

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Une suite est définie explicitement lorsque chaque terme uₙ est directement donné en fonction de n par une formule.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour calculer les premiers termes d’une suite explicite, on remplace successivement n par 0, 1, 2, puis 3 dans la formule donnée.

Compléments

• Pour la suite uₙ=2n, les quatre premiers termes sont u₀=0, u₁=2, u₂=4 et u₃=6.

💡 Astuce mémo

Remplacer n

📖 3. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence : Une suite définie par récurrence est une suite dont chaque terme s’obtient à partir du terme précédent, généralement par une relation donnant uₙ₊₁ en fonction de uₙ.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour définir une suite par récurrence, il faut donner un terme initial et une relation de récurrence valable pour tout entier n.

Compléments

• Si u₀=5 et uₙ₊₁=3uₙ, alors les quatre premiers termes sont u₀=5, u₁=15, u₂=45 et u₃=135.

🔄 Processus — Un programme Python peut calculer successivement les termes d’une suite définie par récurrence afin d’atteindre un terme éloigné comme u₂₅.

💡 Astuce mémo

Terme précédent → suivant

📖 4. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : La représentation graphique d’une suite est un nuage de points dont chaque point a pour coordonnées (n ; uₙ).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour représenter graphiquement une suite, on calcule d’abord un tableau de valeurs, puis on place dans un repère les points de coordonnées (n ; uₙ).

Compléments

• Pour la suite uₙ=n²/2−3, les valeurs de uₙ pour n de 0 à 8 sont −3, −2,5, −1, 1,5, 5, 9,5, 15, 21,5 et 29.

💡 Astuce mémo

Nuage de points (n ; uₙ)

📖 5. Variations d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite (uₙ) est croissante lorsque, pour tout entier n, uₙ₊₁≥uₙ.
• Suite décroissante : Une suite (uₙ) est décroissante lorsque, pour tout entier n, uₙ₊₁≤uₙ.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une suite est constante lorsque uₙ₊₁=uₙ, strictement croissante lorsque uₙ₊₁>uₙ et strictement décroissante lorsque uₙ₊₁<uₙ.

🔄 Processus — Pour étudier les variations d’une suite, on calcule uₙ₊₁−uₙ puis on étudie le signe de cette différence.

Compléments

• Si uₙ₊₁=uₙ+2, alors uₙ₊₁−uₙ=2>0 et la suite (uₙ) est croissante.

• Pour vₙ=4n+4, on obtient vₙ₊₁−vₙ=4>0, donc la suite (vₙ) est croissante.

💡 Astuce mémo

Comparer uₙ₊₁ et uₙ

📊 Tableaux de synthèse

Deux modes de définition

Mode	Expression	Calcul d’un terme
Explicite	uₙ est donné en fonction de n	Remplacer n par le rang voulu
Récurrence	uₙ₊₁ est donné en fonction de uₙ	Calculer les termes précédents

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le rang n désigne la position du terme, et non sa valeur.
2. Une formule explicite permet de calculer directement un terme sans connaître les termes précédents.
3. Une relation de récurrence ne donne pas directement uₙ sans connaître les termes antérieurs.
4. Une suite est représentée par des points isolés, et non par une courbe continue.
5. Croissante signifie que les termes ne diminuent pas, et non qu’ils augmentent toujours strictement.
6. Le premier terme est ici indexé par 0, et non par 1.
7. La relation seule ne suffit pas : le terme initial est indispensable.