Quiz: Introduction au produit scalaire — 10 domande

1. Comment s’écrit le produit scalaire d’un vecteur par lui-même ?

A. \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)

B. \(\vec u\cdot\vec u=0\) pour tout vecteur

C. \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|\)

D. \(\vec u\cdot\vec u=2\|\vec u\|\)

Answer: (A)

Spiegazione

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme. Cela vient du fait que l’angle entre un vecteur et lui-même est nul.

2. Quel résultat obtient-on pour \(\vec u(5,-4)\cdot\vec v(-3,7)\) dans un repère orthonormé ?

A. -1

B. -43

C. 43

D. 1

Answer: (B)

Spiegazione

On calcule \(5\times(-3)+(-4)\times 7=-15-28=-43\). Le signe négatif vient des deux produits partiels négatifs.

3. Quelle formule permet d’exprimer \(\vec u\cdot\vec v\) à partir de \(\|\vec u\|\), \(\|\vec v\|\) et \(\|\vec u-\vec v\|\) ?

A. \(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12(\|\vec u\|+\|\vec v\|+\|\vec u-\vec v\|)\)

B. \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u-\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\)

C. \(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2)\)

D. \(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12(\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2)\)

Answer: (C)

Spiegazione

La formule de polarisation donne \(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2)\). Elle relie le produit scalaire aux normes et à la différence des vecteurs.

4. Que représente la projection orthogonale d’un point sur une droite ?

A. Le point d’intersection de la droite avec la perpendiculaire issue du point

B. Le point de la droite le plus éloigné du point donné

C. Le vecteur perpendiculaire à la droite passant par le point

D. Le milieu du segment reliant le point à la droite

Answer: (A)

Spiegazione

La projection orthogonale est le point où la droite rencontre la perpendiculaire menée depuis le point. Ce n’est pas un milieu ni un vecteur.

5. Quelle propriété du produit scalaire exprime que l’ordre des vecteurs peut être inversé sans changer la valeur ?

A. La symétrie

B. L’additivité

C. L’homogénéité

D. La positivité

Answer: (A)

Spiegazione

On a toujours \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\), ce qui traduit la symétrie du produit scalaire. Cette propriété permet d’échanger les vecteurs sans modifier le résultat.

6. Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

A. Quand leurs normes sont égales

B. Quand l’angle entre eux vaut 60°

C. Quand leur produit scalaire vaut 0

D. Quand leur somme est nulle

Answer: (C)

Spiegazione

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. C’est le critère fondamental d’orthogonalité.

7. Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs si l’un des deux est nul ?

A. Il vaut 1

B. Il vaut la norme de l’autre vecteur

C. Il vaut 0

D. Il dépend de l’angle entre les deux vecteurs

Answer: (C)

Spiegazione

Le produit scalaire est nul dès qu’au moins un des deux vecteurs est nul. Il s’agit d’un nombre réel, pas d’un vecteur.

8. Quelle identité remarquable est correcte pour le carré de la somme de deux vecteurs ?

A. $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$

B. $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+\vec v^2$

C. $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2-\vec v^2$

D. $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$

Answer: (D)

Spiegazione

Le carré de la somme contient les deux carrés et le double du produit scalaire. Le signe « plus » devant le terme croisé est essentiel.

9. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on le produit scalaire de \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) ?

A. \(xx'-yy'\)

B. \(x+x'+y+y'\)

C. \(xy'+x'y\)

D. \(xx'+yy'\)

Answer: (D)

Spiegazione

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par \(xx'+yy'\). Cette formule n’est valable que dans ce cadre.

10. Quelle expression définit le produit scalaire de deux vecteurs non nuls à partir de leurs normes et de l’angle entre eux ?

A. Le produit de leurs normes multiplié par le sinus de l’angle

B. La somme de leurs normes multipliée par le cosinus de l’angle

C. Le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l’angle

D. La différence de leurs normes multipliée par le sinus de l’angle

Answer: (C)

Spiegazione

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls s’écrit comme le produit de leurs normes par le cosinus de l’angle compris entre eux. Le sinus n’intervient pas dans cette définition.