Développement limité (DL) d’ordre n en un point x0 : Représentation d’une fonction f(x) par un polynôme de degré n plus un reste négligeable, formalisée par l’existence de coefficients a0, a1, ..., an et d’une fonction ε(x) telle que f(x) = P(x) + (x−x0)^n ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0.
Fonction ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0 : Fonction qui tend vers zéro lorsque x approche x0, représentant la partie négligeable du reste du DL.
Polynôme partie régulière du DL : Polynôme P(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n, qui constitue l’approximation locale de f(x) autour de x0.
Reste d’ordre n du DL : Expression (x−x0)^n ε(x), représentant la différence entre f(x) et son polynôme partie régulière, qui devient négligeable à l’approche de x0.
Le DL d’ordre n s’écrit :
f(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n + (x−x0)^n ε(x), avec lim x→x0 ε(x) = 0.
La partie régulière ou polynôme du DL est :
P(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n.
Le reste d’ordre n est :
f(x) − P(x) = (x−x0)^n ε(x).
En changeant de variable t = x−x0, le DL en x0 se ramène à un DL en 0, simplifiant l’étude locale.
1. QUI a formulé cette définition du développement limité d’ordre n en un point x₀ ?
2. Comment est désignée la composante polynomiale unique qui représente la structure essentielle du développement limité d'une fonction en un point ?
3. Quelle est la conséquence de représenter le reste d’ordre n sous la forme (x−x0)^n ε(x) avec lim x→x0 ε(x)=0 ?
Définition DL — en un point ?
Approximation locale par un polynôme avec reste négligeable.
Partie régulière — rôle ?
Représente la composante polynomiale principale du DL.
Reste d’ordre n — expression ?
(x−x₀)^n ε(x), avec lim x→x₀ ε(x)=0.
Notations o(v) — signification ?
Fonction négligeable devant v(x) près de x₀.
Exemple DL exp — en 0 ?
Σ (x^k)/k! jusqu’à l’ordre n, reste négligeable.
DL sin — en 0 ?
Σ (x^{2k+1})/(2k+1)! avec ε(x)→0 quand x→0.
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