Quiz: Introduction aux fonctions quadratiques — 12 questions

1. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

A. a(x-\alpha)^2+\beta

B. \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

C. a(x-x_1)(x-x_2)

D. ax^2+bx+c

Answer: (A)

Explanation

La forme canonique s’écrit bien sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$. Elle met en évidence le sommet et l’axe de symétrie du trinôme.

2. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, que représente le réel $\alpha$ ?

A. L’abscisse du sommet et l’axe de symétrie

B. Le discriminant de l’équation

C. Le nombre de racines réelles

D. L’ordonnée à l’origine du trinôme

Answer: (A)

Explanation

Le réel $\alpha$ vaut $-\dfrac{b}{2a}$ et donne l’abscisse du sommet. L’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$.

3. Que permet de déterminer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ d’une équation du second degré ?

A. Le nombre de solutions réelles

B. La valeur de l’ordonnée du sommet

C. La somme des coefficients du trinôme

D. L’axe de symétrie de la parabole

Answer: (A)

Explanation

Le discriminant sert à savoir s’il y a 0, 1 ou 2 solutions réelles. C’est lui qui décide du nombre de racines réelles de l’équation.

4. Si le discriminant d’une équation du second degré est nul, combien a-t-elle de solution réelle ?

A. Une infinité de solutions réelles

B. Deux solutions réelles distinctes

C. Une solution réelle double

D. Aucune solution réelle

Answer: (C)

Explanation

Quand $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution réelle, appelée racine double. Cette solution vaut $-\dfrac{b}{2a}$.

5. Quand dit-on qu’un réel $x$ est une racine d’une fonction du second degré ?

A. Lorsque $f(x)=a$

B. Lorsque $f(x)=0$

C. Lorsque $f(x)=1$

D. Lorsque $f(x)=\beta$

Answer: (B)

Explanation

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle la fonction s’annule. Pour un trinôme, les racines sont exactement les solutions de l’équation associée.

6. Dans quel cas un trinôme du second degré est-il factorisable dans $\mathbb{R}$ en produit de deux facteurs du type $(x-x_1)(x-x_2)$ ?

A. Lorsque $\Delta>0$

B. Lorsque $\Delta<0$

C. Lorsque $b=0$

D. Lorsque $a=0$

Answer: (A)

Explanation

Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles et peut s’écrire $a(x-x_1)(x-x_2)$. Si $\Delta<0$, une telle factorisation réelle n’est pas possible.

7. Lorsque $\Delta>0$, comment se répartit le signe du trinôme entre ses deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ ?

A. Il est positif uniquement aux racines

B. Il est toujours du signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$

C. Il est du signe opposé à celui de $a$ entre $x_1$ et $x_2$

D. Il est nul partout entre $x_1$ et $x_2$

Answer: (C)

Explanation

Quand $\Delta>0$, le trinôme change de signe entre ses deux racines. Il est du signe de $a$ à l’extérieur de l’intervalle et du signe opposé entre $x_1$ et $x_2$.

8. Que peut-on dire du signe d’un trinôme lorsque son discriminant est négatif ?

A. Il change de signe entre deux racines réelles

B. Il est nul en deux points distincts

C. Il est forcément positif sur $\mathbb{R}$

D. Il est constant et du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$

Answer: (D)

Explanation

Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et ne coupe pas l’axe des abscisses. Son signe reste donc constant, égal au signe de $a$.

9. Si $a>0$ dans $f(x)=ax^2+bx+c$, comment la parabole est-elle orientée ?

A. Horizontalement

B. Vers le bas

C. Sans sommet

D. Vers le haut

Answer: (D)

Explanation

Quand $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut. Son sommet correspond alors à un minimum.

10. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, quel est l’axe de symétrie de la parabole ?

A. La droite $x=\beta$

B. La droite $y=\alpha$

C. La droite $y=\beta$

D. La droite $x=\alpha$

Answer: (D)

Explanation

L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x=\alpha$. Il passe par le sommet $S(\alpha;\beta)$.

11. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme canonique f(x)=a(x-b1)^2+b2 avec a>0, quel est le sens de variation de f ?

A. Elle est croissante sur tout bb{0fty;b1] puis sur [b1;+0fty[

B. Elle est croissante puis de9croissante, avec un maximum en b1

C. Elle est constante sur chaque intervalle de part et de9croissante en b1

D. Elle est de9croissante puis croissante, avec un minimum en b1

Answer: (D)

Explanation

Lorsque a>0, la parabole est tourne9e vers le haut : la fonction de9croeet jusque0 b1 puis croeet apre8s b1. Le sommet correspond donc e0 un minimum.

12. Dans un tableau de variations d'une fonction f(x)=a(x-b1)^2+b2, quelle valeur doit apparaeetre au niveau du sommet ?

A. La valeur f(b1)=b2

B. La valeur de b2 moins a

C. La valeur 0, quelle que soit la fonction

D. La valeur b1=-7b/2a

Answer: (A)

Explanation

Le sommet a pour ordonne9e b2, qui est la valeur centrale f(b1). Dans le tableau de variations, on place donc cette valeur au point of9 le sens de variation change.