Introduction aux Nombres Complexes

• Un nombre complexe z s’écrit z = a + i b, avec a, b ∈ R.
• Module : |z| = √(a² + b²), mesure de la distance à l’origine.
• Argument : θ = arg(z), angle entre le vecteur z et l’axe réel, θ ∈ R mod 2π.
• Conjugué : ¯z = a − i b, symétrie par rapport à l’axe réel.
• Opérations principales : addition, multiplication, division, puissance.
• Racines carrées : deux solutions sauf z=0, ω = ±√|z| e^{i(θ/2 + πk)}.
• Racines n-ièmes : ωk = ρ^{1/n} e^{i( (θ + 2πk) / n )}, k=0..n−1.
• Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
• Théorème fondamental : toute équation polynomiale de degré n a n solutions dans C.
• Applications : géométrie (droites, cercles), trigonométrie, électronique, mécanique quantique.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Partie réelle : Re(z) = a.
• Partie imaginaire : Im(z) = b.
• Module : |z| = √(a² + b²).
• Conjugué : ¯z = a − i b.
• Racines carrées : solutions de ω² = z.
• Racines n-ièmes : solutions de ω^n = 1 ou ω^n = z.
• Argument : θ = arg(z), angle principal.
• Formule de Moivre : puissance d’un nombre complexe exprimée en trigonométrie.
• Équation d’un cercle : |z−ω| = r.
• Équation d’une droite : (a + i b)z + (a − i b)¯z = k.