Quiz: Introduction aux projecteurs et symétries vectorielles — 12 questions

1. Que signifie l’égalité E = F ⊕ G pour deux sous-espaces F et G de E ?

A. Chaque vecteur de E se décompose de façon unique en une somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G

B. Chaque vecteur de E appartient nécessairement à F et à G à la fois

C. Tout vecteur de E peut s’écrire de plusieurs façons avec des composantes dans F et G

D. Les sous-espaces F et G sont égaux et coïncident avec E

Answer: (A)

Explanation

L’écriture E = F ⊕ G signifie que tout vecteur de E admet une décomposition unique x = xF + xG avec xF ∈ F et xG ∈ G. La non-unicité proposée dans une autre option contredit précisément la somme directe.

2. Dans une situation où E = F ⊕ G, quelle propriété est caractéristique de la décomposition d’un vecteur x ?

A. Elle dépend du choix arbitraire d’un troisième sous-espace

B. Elle est unique, avec un seul couple (xF, xG)

C. Elle impose que xF et xG soient tous deux nuls

D. Elle autorise plusieurs couples différents donnant le même vecteur

Answer: (B)

Explanation

La somme directe garantit une décomposition unique de x en une partie dans F et une partie dans G. C’est le sens même de la notation ⊕.

3. Quel critère algébrique permet de reconnaître qu’un endomorphisme p est un projecteur ?

A. p^2 = p

B. p + idE = 0

C. p^2 = idE

D. p est forcément inversible

Answer: (A)

Explanation

Un endomorphisme est un projecteur si et seulement si il est idempotent, c’est-à-dire p^2 = p. La condition p^2 = idE correspond plutôt à une symétrie.

4. Si p est un projecteur sur F parallèlement à G, que fait p à un vecteur x = xF + xG ?

A. Il envoie x sur xF + xG

B. Il envoie x sur xF − xG

C. Il envoie x sur xF

D. Il envoie x sur xG

Answer: (C)

Explanation

Une projection sur F parallèlement à G conserve la composante sur F et annule celle sur G. Ainsi, p(x) = xF.

5. Quel ensemble décrit l’image d’un projecteur p ?

A. Les vecteurs envoyés sur 0 par p

B. Les vecteurs fixés par p

C. Les vecteurs envoyés sur leur opposé par p

D. Les vecteurs qui ne changent jamais de sous-espace

Answer: (B)

Explanation

Pour un projecteur, l’image est exactement l’ensemble des vecteurs invariants, ceux qui vérifient p(x) = x. Les vecteurs envoyés sur 0 appartiennent au noyau.

6. Pour le projecteur complémentaire q = idE − p, quelle relation entre image et noyau est correcte ?

A. Im(q) = Im(p) et ker(q) = ker(p)

B. Im(q) = E et ker(q) = {0}

C. Im(q) = ker(p) et ker(q) = Im(p)

D. Im(q) est toujours égale à ker(q)

Answer: (C)

Explanation

Le projecteur complémentaire échange les rôles de la partie conservée et de la partie annulée : son image est le noyau de p et son noyau est l’image de p. Cela correspond à la décomposition complémentaire.

7. Quelle formule décrit l’action d’une symétrie vectorielle s par rapport à F parallèlement à G sur x = xF + xG ?

A. s(xF + xG) = −xF − xG

B. s(xF + xG) = −xF + xG

C. s(xF + xG) = xF + xG

D. s(xF + xG) = xF − xG

Answer: (D)

Explanation

Une symétrie conserve la composante sur F et inverse celle sur G. Elle transforme donc xF + xG en xF − xG.

8. Quels noyaux permettent de retrouver les espaces invariants et inversés d’une symétrie s ?

A. ker(s + 2idE) et ker(s − 2idE)

B. ker(s) et ker(idE)

C. ker(s − idE) et ker(s + idE)

D. ker(s^2 − idE) et ker(s − idE)

Answer: (C)

Explanation

Les vecteurs invariants sont ceux de ker(s − idE) et les vecteurs inversés ceux de ker(s + idE). Ces deux noyaux donnent directement les sous-espaces F et G.

9. Si un sous-espace A est stable par g et que f g = g f, que peut-on conclure lorsque A = ker(f) ?

A. g(A) est nécessairement égal à Im(f)

B. g(A) est encore contenu dans ker(f)

C. g(A) est réduit au vecteur nul

D. g(A) devient un sous-espace non stable

Answer: (B)

Explanation

Si x appartient à ker(f), alors f(x) = 0 et donc f(g(x)) = g(f(x)) = 0 grâce à la commutation. Ainsi, g(x) reste dans ker(f).

10. Quelle relation permet de passer d’une symétrie s à un projecteur p ?

A. s = idE − p, donc p = idE − s

B. s = 2p − idE, donc p = 1/2(s + idE)

C. s = p − idE, donc p = s + idE

D. s = p^2, donc p = s^2

Answer: (B)

Explanation

La passerelle correcte est s = 2p − idE, ce qui équivaut à p = 1/2(s + idE). Cette équivalence relie directement symétrie et projecteur.

11. Quelles sont les valeurs propres possibles d’un projecteur ?

A. 0 et −1

B. 0 et 1

C. Toutes les valeurs réelles

D. −1 et 1

Answer: (B)

Explanation

Un projecteur vérifie p^2 = p, ce qui contraint ses valeurs propres à 0 ou 1. Les valeurs −1 et 1 correspondent aux symétries.

12. Quelle égalité doit être vérifiée pour contrôler la cohérence dimensionnelle d’un projecteur p ?

A. dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E)

B. dim(Im(p)) − dim(ker(p)) = dim(E)

C. dim(Im(p)) = dim(ker(p)) pour tout p

D. dim(ker(p)) = 0 dans tous les cas

Answer: (A)

Explanation

Le théorème du rang impose que la dimension de l’image plus celle du noyau égale la dimension de l’espace. C’est une vérification essentielle après un calcul de projecteur.