Lernzettel: Introduction aux Statistiques Descriptives

📋 Plan du Cours

1. Effectifs et fréquences
2. Moyenne simple et pondérée
3. Diagrammes statistiques
4. Médiane et étendue
5. Quartiles et écart interquartile
6. Regroupement par classes
7. Variance et écart-type

📖 1. Effectifs et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Un effectif est le nombre d’individus correspondant à une valeur ou une modalité donnée dans une série statistique.
• Effectif total : L’effectif total est la somme des effectifs de toutes les modalités d’une même série.
• Fréquence : La fréquence mesure la proportion d’une modalité dans une série, souvent exprimée en pourcentage.

📝 Points essentiels

• Pour une modalité, la somme des effectifs de toutes les modalités donne l’effectif total (par exemple 4+9+6+4+3+1=27).
• On compare correctement deux populations avec des effectifs totaux différents en passant par les fréquences plutôt que par les effectifs.
• Dans la classe, la fréquence de « plusieurs fois par jour » vaut 15% contre 44% dans l’enquête nationale.

📖 2. Moyenne simple et pondérée

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne simple : La moyenne simple est obtenue en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre de valeurs.
• Moyenne pondérée : La moyenne pondérée combine les valeurs avec leurs effectifs, en divisant la somme des produits valeur×effectif par l’effectif total.
• Linéarité de la moyenne : La moyenne suit des règles de proportionnalité et d’addition quand on modifie toutes les valeurs de la même façon.

📝 Points essentiels

• Avec 7 valeurs (240, 352, 500, 408, 330, 285, 250), la moyenne du sondage est 338.
• Pour 25 valeurs issue des effectifs (0 apparaît 0 fois, 1 apparaît 12 fois, 2 apparaît 8 fois, 3 apparaît 3 fois, 4 apparaît 2 fois), la moyenne pondérée vaut 45/25≈1,8.
• Si toutes les valeurs sont multipliées par $a$, alors la moyenne est multipliée par $a$ ; si on ajoute $b$ à toutes les valeurs, la moyenne est augmentée de $b$.

📖 3. Diagrammes statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Un diagramme en bâtons représente des données qualitatives ou discrètes par des barres dont la hauteur indique l’effectif.
• Diagramme circulaire : Un diagramme circulaire représente les parts d’une répartition par secteurs, en lien avec la proportion de chaque modalité.

📝 Points essentiels

• Pour un diagramme en bâtons, on place les modalités en abscisse et on trace des barres d’hauteur proportionnelle aux effectifs de chaque modalité.
• Pour un diagramme circulaire, le total des effectifs correspond à 360° quel que soit le nombre de modalités.
• Dans l’exemple « groupes sanguins » (total 28), le secteur de A vaut 129° et celui de O vaut 167°.

📖 4. Médiane et étendue

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Étendue : L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d’une série.

📝 Points essentiels

• Pour Nadir (8 notes ordonnées), la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : 11,5.
• Pour Julie (9 notes ordonnées), la médiane est la 5e valeur : 12.
• L’étendue de Nadir vaut 18−4=14 et celle de Julie vaut 15−9=6.

📖 5. Quartiles et écart interquartile

🔑 Notions clés & Définitions

• Premier quartile $Q_1$ : Le premier quartile $Q_1$ est la première valeur qui dépasse le quart de l’effectif ordonné.
• Troisième quartile $Q_3$ : Le troisième quartile $Q_3$ est la première valeur qui dépasse les trois-quarts de l’effectif ordonné.
• Écart interquartile : L’écart interquartile est la différence $Q_3-Q_1$ et mesure la dispersion entre ces deux niveaux.

📝 Points essentiels

• Pour Nadir (8 valeurs), $Q_1$ est la 2e valeur de la série ordonnée et vaut 6.
• Pour Nadir (8 valeurs), $Q_3$ est la 6e valeur de la série ordonnée et vaut 17, donc l’écart interquartile vaut 11.
• Pour Julie (9 valeurs), $Q_1=10$, $Q_3=13$ et l’écart interquartile vaut 3.

📖 6. Regroupement par classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Classes de longueur : Les classes regroupent des valeurs dans des intervalles de même largeur, ici de 5 cm.
• Histogramme : Un histogramme représente les effectifs par classes sous forme de rectangles dont la hauteur correspond à l’effectif (ou à la fréquence).
• Valeur centrée d’une classe : La valeur centrée d’une classe est le milieu de l’intervalle, utilisée pour approcher la moyenne quand on ne connaît pas les valeurs exactes.

📝 Points essentiels

• Pour les tailles, l’étendue vaut 179−151=28 cm.
• Avec des classes de largeur 5 cm, on obtient les effectifs : 2 pour [150 ;155[, 4 pour [155 ;160[, 7 pour [160 ;165[, 8 pour [165 ;170[, 3 pour [170 ;175[, 3 pour [175 ;180[.
• La moyenne approchée en centrant les classes vaut 4462,5/27≈165,3 cm et la moyenne exacte vaut 164,6 cm, avec une erreur d’environ 7 mm.

📖 7. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance $V$ : La variance $V$ quantifie l’écart moyen des valeurs à la moyenne, calculée à partir des produits n_i(x_i-ar{x})^2.
• Écart-type $\sigma$ : L’écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance et exprime la dispersion autour de la moyenne.
• Dispersion autour de la moyenne : La dispersion décrit l’amplitude des valeurs par rapport à la moyenne, et l’écart-type en donne une mesure directe.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple (18 élèves), la moyenne est $\bar{x}=36/18=2$.
• La variance calculée donne $V=12/18=2/3$ dans l’exemple fourni.
• L’écart-type vaut $\sigma=\sqrt{2/3}≈0,82$ et exprime la dispersion autour de la moyenne.

📊 Tableaux de synthèse

Effectifs vs fréquences

Série	Objet	Exemple
Classe de 5e	Effectifs	« plusieurs fois par jour » : 4
Enquête nationale	Effectifs	« plusieurs fois par jour » : 551
Classe de 5e	Fréquences	« plusieurs fois par jour » : 15%
Enquête nationale	Fréquences	« plusieurs fois par jour » : 44%

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre effectif et fréquence : comparer deux populations avec des effectifs totaux différents nécessite les fréquences.
2. Prendre la moyenne simple alors que la série nécessite des effectifs (moyenne pondérée).
3. Appliquer la linéarité de façon partielle : multiplier toutes les valeurs multiplie la moyenne, mais ajouter une constante l’augmente aussi.
4. Se tromper de médiane quand le nombre de valeurs est pair : on moyenne les deux valeurs centrales (comme pour Nadir).
5. Inverser $Q_1$ et $Q_3$ : $Q_1$ correspond au quart, $Q_3$ aux trois-quarts de l’effectif ordonné.
6. Oublier que l’écart interquartile est bien $Q_3-Q_1$, pas $Q_1-Q_3.
7. Pour les classes, oublier de centrer les intervalles : la moyenne calculée avec les centres est une approximation fiable.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un effectif total comme somme des effectifs de toutes les modalités.
2. Savoir passer d’un tableau d’effectifs à un tableau de fréquences en % pour comparer des séries de tailles différentes.
3. Savoir calculer une moyenne simple en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre de valeurs.
4. Savoir calculer une moyenne pondérée en utilisant la formule “somme des produits valeur×effectif sur effectif total” avec des valeurs répétées.
5. Savoir utiliser la linéarité de la moyenne : multiplication de toutes les valeurs par $a$ et ajout de $b$ à toutes les valeurs.
6. Savoir placer et interpréter un diagramme en bâtons à partir d’effectifs.
7. Savoir calculer des angles de diagramme circulaire en utilisant 360° pour l’effectif total (proportionnalité).
8. Savoir déterminer une médiane à partir d’une liste ordonnée : milieu des deux valeurs (nombre pair) ou valeur centrale (nombre impair).
9. Savoir calculer l’étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur.
10. Savoir déterminer $Q_1$ et $Q_3$ à partir d’une série ordonnée en repérant les “premières valeurs dépassant” les seuils.
11. Savoir calculer l’écart interquartile comme $Q_3-Q_1$.
12. Savoir regrouper des données par classes de largeur donnée, calculer l’effectif de chaque classe, puis faire l’histogramme.
13. Savoir calculer une moyenne approchée en centrant les classes et comparer à la moyenne exacte quand elle est donnée.
14. Savoir calculer une variance à partir de $(x_i-\bar{x})^2$ pondéré par les effectifs, puis en déduire l’écart-type comme racine carrée de la variance.