Quiz: Introduction aux suites numériques — 14 domande

1. Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

A. Une fonction qui associe à chaque réel x un nombre complexe

B. Une liste de nombres réels sans lien avec un indice

C. Une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel u_n

D. Une fonction qui associe à chaque entier relatif un vecteur

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite numérique est bien une fonction définie sur les entiers naturels et qui prend des valeurs réelles notées u_n. Les autres propositions ne respectent pas à la fois l’indice naturel et la nature réelle des termes.

2. Comment représente-t-on graphiquement une suite dans un repère ?

A. En traçant une courbe lisse passant par tous les termes

B. En plaçant seulement les points sur l’axe vertical

C. En reliant les indices n par des segments horizontaux

D. En plaçant les points de coordonnées (n, u_n) sans les relier par une courbe continue

Answer: (D)

Spiegazione

La représentation d’une suite se fait par un nuage de points de coordonnées (n, u_n), avec des points distincts et non une courbe continue. L’axe horizontal porte n et l’axe vertical porte u_n.

3. Quand dit-on qu’une suite est définie explicitement ?

A. Quand la suite est donnée uniquement par ses valeurs graphiques

B. Quand on connaît seulement u_0 et une relation entre deux termes consécutifs

C. Quand u_n s’écrit directement sous la forme u_n = f(n)

D. Quand chaque terme dépend de la somme de tous les précédents

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite explicite donne directement u_n en fonction de n, sans calculer les termes un par un. La définition par récurrence, elle, part d’un terme initial et d’une relation de passage.

4. Dans une suite définie par récurrence, que permet le calcul itératif ?

A. Trouver le sens de variation sans calcul

B. Calculer directement u_n sans aucun terme antérieur

C. Obtenir chaque terme à partir du terme précédent

D. Remplacer n par une valeur dans une formule explicite

Answer: (C)

Spiegazione

Le calcul itératif consiste à produire les termes successifs en utilisant à chaque étape le terme précédent. Ce n’est pas un calcul direct par substitution dans une formule explicite.

5. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. u_{n+1} / u_n = r

B. u_n = u_0 × r^n

C. u_{n+1} = u_n + r

D. u_{n+1} = u_n × r

Answer: (C)

Spiegazione

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même quantité r d’un terme au suivant. La multiplication par une constante caractérise au contraire une suite géométrique.

6. Si une suite arithmétique commence à u_0, quelle est sa formule du terme général ?

A. u_n = u_1 + n×r

B. u_n = u_0 × r^n

C. u_n = u_0 + (n−1)×r

D. u_n = u_0 + n×r

Answer: (D)

Spiegazione

Quand le premier terme est u_0, le terme général d’une suite arithmétique est u_n = u_0 + n×r. La formule avec (n−1)×r s’emploie lorsque la suite commence à u_1.

7. Quelle propriété permet de reconnaître une suite géométrique ?

A. Le rapport u_{n+1}/u_n est constant

B. Les termes sont tous positifs

C. Les termes sont alignés sur un graphique

D. La différence u_{n+1}−u_n est constante

Answer: (A)

Spiegazione

Une suite géométrique est caractérisée par un rapport constant entre deux termes consécutifs. La différence constante correspond, elle, à une suite arithmétique.

8. Quelle est la formule du terme général d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q ?

A. u_n = u_0 + n×q

B. u_n = u_0 × q^n

C. u_n = u_0 + q^n

D. u_n = u_0 × n^q

Answer: (B)

Spiegazione

Si la suite commence à u_0, on obtient u_n = u_0 × q^n. La multiplication répétée par q explique la présence de la puissance n.

9. Quelle formule donne la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u_1 et de dernier terme u_n ?

A. S_n = n×u_1 + u_n

B. S_n = n(u_1 + u_n)/2

C. S_n = u_1 × (1−q^n)/(1−q)

D. S_n = u_1 + u_2 + … + u_n^2

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une suite arithmétique, la somme des n termes consécutifs s’écrit avec le premier et le dernier terme : S_n = n(u_1 + u_n)/2. La formule avec (1−q^n)/(1−q) concerne une suite géométrique.

10. Dans le cas d’une suite géométrique avec q ≠ 1 et premier terme u_1, quelle expression est correcte pour S_n ?

A. S_n = n(u_1 + u_n)/2

B. S_n = u_1 × (1−q^n)/(1−q)

C. S_n = u_1 + n×q^n

D. S_n = n×u_1×q

Answer: (B)

Spiegazione

La somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec q ≠ 1 se calcule avec S_n = u_1 × (1−q^n)/(1−q). Le cas q = 1 est différent et donne simplement n×u_1.

11. Quelle condition permet de conclure qu’une suite est croissante à partir de la différence entre deux termes consécutifs ?

A. La différence u_{n+1}−u_n est nulle

B. La différence u_{n+1}−u_n est positive

C. Le quotient u_{n+1}/u_n est inférieur à 1

D. Le quotient u_{n+1}/u_n est supérieur à 0

Answer: (B)

Spiegazione

Une suite est croissante lorsque chaque terme est au moins aussi grand que le précédent ; une différence positive entre deux termes consécutifs traduit une croissance stricte. Le quotient ne sert pas à ce critère de façon générale.

12. Pour une suite géométrique dont les termes sont tous strictement positifs, quelle valeur de la raison q correspond à une suite décroissante ?

A. q = 1

B. 0 < q < 1

C. q < 0

D. q > 1

Answer: (B)

Spiegazione

Quand tous les termes sont positifs, une suite géométrique est décroissante si la raison est comprise entre 0 et 1. Si q = 1, la suite est constante, et si q > 1, elle est croissante.

13. Quelle affirmation décrit correctement une suite convergente ?

A. Elle n’a jamais de limite finie mais peut avoir une limite infinie

B. Ses termes deviennent arbitrairement grands quand n augmente

C. Elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞

D. Elle oscille forcément entre deux valeurs

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite finie. Le fait de devenir arbitrairement grand correspond au contraire à une divergence vers +∞.

14. Quelle est la limite de la suite u_n = 3 + 1/n lorsque n tend vers +∞ ?

A. 3

B. 0

C. 1

D. +∞

Answer: (A)

Spiegazione

Comme 1/n tend vers 0 quand n tend vers +∞, la suite 3 + 1/n tend vers 3. Elle converge donc vers une limite finie.