Quiz: Introduction aux variables aléatoires et dérivées — 9 questions

1. Dans un lancer de dé à 10 faces, que désigne l’univers Ω ?

A. L’ensemble des issues possibles de l’expérience aléatoire

B. La liste des valeurs prises par la variable aléatoire

C. Le nombre moyen obtenu par la variable aléatoire

D. L’ensemble des probabilités associées aux issues

Answer: (A)

Explanation

L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. La variable aléatoire, elle, associe un nombre réel à chaque issue.

2. Quel énoncé décrit correctement une loi de probabilité pour une variable aléatoire ?

A. Elle associe à chaque issue une valeur réelle sans tenir compte des probabilités

B. Elle donne uniquement la plus grande valeur prise par la variable

C. Elle associe à chaque valeur possible sa probabilité et la somme de ces probabilités vaut 1

D. Elle calcule directement la moyenne des valeurs prises par la variable

Answer: (C)

Explanation

Une loi de probabilité associe chaque valeur possible de X à sa probabilité, avec une somme totale égale à 1. C’est précisément ce que résume aussi un tableau de valeurs.

3. Comment se calcule l’espérance d’une variable aléatoire discrète ?

A. En soustrayant toutes les probabilités à 1

B. En additionnant chaque valeur possible multipliée par sa probabilité

C. En calculant la racine carrée de la somme des valeurs

D. En prenant la plus petite valeur possible de la variable

Answer: (B)

Explanation

L’espérance est une moyenne pondérée : E(X)=Σ xi·pi. Elle ne correspond pas à une simple valeur extrême ni à une racine carrée.

4. Que mesure principalement la variance d’une variable aléatoire ?

A. La dispersion des valeurs autour de l’espérance

B. Le nombre total de valeurs possibles

C. La probabilité de la valeur la plus fréquente

D. La valeur moyenne des issues de l’expérience

Answer: (A)

Explanation

La variance mesure la dispersion en calculant la moyenne des carrés des écarts à l’espérance. L’écart-type est ensuite la racine carrée de cette variance.

5. Dans un calcul de probabilité du type P(X ≤ 7), que faut-il faire ?

A. Additionner les probabilités des valeurs de X inférieures ou égales à 7

B. Prendre seulement la probabilité de X = 7

C. Multiplier les probabilités des valeurs de X inférieures ou égales à 7

D. Soustraire la probabilité de X = 7 à 1

Answer: (A)

Explanation

Pour P(X ≤ 7), on additionne les probabilités de toutes les valeurs de X qui vérifient la condition. C’est une somme de probabilités correspondant aux issues admissibles.

6. Quelle est la dérivée de la fonction constante f(x)=k ?

A. x

B. k

C. 1

D. 0

Answer: (D)

Explanation

La dérivée d’une fonction constante est nulle sur tout son domaine. C’est une règle de base de dérivation.

7. Quelle formule donne la dérivée de f(x)=g(ax+b) lorsque g est dérivable ?

A. f’(x)=g’(ax+b)

B. f’(x)=g(ax+b)·a

C. f’(x)=a+g’(x)

D. f’(x)=a·g’(ax+b)

Answer: (D)

Explanation

Pour une fonction composée de la forme g(ax+b), on dérive g puis on multiplie par le coefficient a. La condition de domaine doit aussi être vérifiée.

8. Que peut-on conclure sur une fonction dérivable dont la dérivée est positive sur un intervalle ?

A. Elle admet forcément un maximum sur cet intervalle

B. Elle est constante sur cet intervalle

C. Elle est décroissante sur cet intervalle

D. Elle est croissante sur cet intervalle

Answer: (D)

Explanation

Le signe positif de la dérivée caractérise une fonction croissante sur l’intervalle. Un signe négatif indiquerait au contraire une décroissance.

9. Quelle condition est nécessaire pour qu’un extremum intérieur soit atteint en un point a ?

A. f(a)=0

B. f’(a)<0

C. f’(a)=0

D. f’(a)>0

Answer: (C)

Explanation

Si une fonction admet un extremum en un point intérieur de l’intervalle, alors sa dérivée en ce point est nulle. En revanche, f’(a)=0 ne suffit pas à garantir un extremum.