Lernzettel: Introduction aux Variables Catégorielles et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Variables catégorielles
2. Fréquences marginales et conditionnelles
3. Tableaux croisés
4. Probabilités conditionnelles
5. Applications des probabilités conditionnelles
6. Représentations graphiques
7. Algorithmique

📖 1. Variables catégorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables catégorielles : Une variable catégorielle regroupe des individus dans des catégories distinctes, sans ordre entre elles.
• Événement A : Un événement est une propriété que l’on peut vérifier sur un individu (exemple : « le pain est complet »).
• Événement B : Un second événement est une autre propriété testable sur le même individu (exemple : « le pain est fait par le boulanger »).
• Cardinal d’un événement : Le cardinal d’un événement est le nombre d’issues (individus ou objets) qui réalisent cet événement.

📝 Points essentiels

• Les variables catégorielles décrivent des groupes comme groupe sanguin (A, B, AB, O) ou rhésus (Rh+ ou Rh−), puis on compte les effectifs dans chaque case.

💡 Astuce mémo

Catégoriel = catégories séparées, donc on compte et on met en cases.

📖 2. Fréquences marginales et conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence marginale : La fréquence marginale mesure la proportion d’individus pour une catégorie donnée, sans condition supplémentaire.
• Fréquence conditionnelle : La fréquence conditionnelle mesure la proportion d’individus vérifiant un événement parmi ceux qui vérifient un autre événement.
• Intersection d’événements : L’intersection de deux événements correspond aux individus qui satisfont les deux propriétés en même temps.
• Événement « parmi » : L’expression « parmi » indique qu’on restreint la population à une condition préalable avant de calculer une proportion.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau croisé groupe sanguin × rhésus, la fréquence marginale d’une catégorie correspond au total de la ligne ou de la colonne rapporté au total général.
• La fréquence conditionnelle « parmi A » se calcule avec l’effectif de l’intersection divisé par l’effectif de A.

💡 Astuce mémo

Marginale = vue d’ensemble (bord du tableau), conditionnelle = vue filtrée (intersection / condition).

📖 3. Tableaux croisés

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Un tableau croisé organise les comptages d’effectifs selon deux variables catégorielles en lignes et colonnes.
• Total de ligne : Le total de ligne additionne tous les effectifs correspondant à une catégorie de la variable en ordonnée.
• Total de colonne : Le total de colonne additionne tous les effectifs correspondant à une catégorie de la variable en abscisse.
• Total général : Le total général est la somme de toutes les cases du tableau et sert de référence pour les fréquences.

📝 Points essentiels

• Le sens d’un tableau croisé relie chaque ligne et chaque colonne à des événements, puis les cases correspondent aux intersections des événements de leurs lignes et colonnes.
• Pour compléter un tableau croisé de 2000 salariés, on utilise les pourcentages pour reconstruire les effectifs manquants puis on vérifie les totaux de lignes et de colonnes.
• Pour calculer des probabilités à partir du tableau, on remplace les probabilités par des rapports d’effectifs (intersection sur total de la condition ou sur total général).

💡 Astuce mémo

Un tableau croisé = effectifs partout, et les totaux deviennent tes dénominateurs.

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant A est la probabilité que B se produise lorsque A s’est déjà produit.
• Formule P(B sachant A) : La probabilité conditionnelle se calcule comme le cardinal de l’intersection divisé par le cardinal de l’événement condition.
• Événements A et B : Ce sont les deux événements utilisés pour définir la probabilité conditionnelle, avec une condition préalable sur A.
• Cas d’un même univers : Les événements A et B sont définis sur le même ensemble d’individus, ce qui rend les rapports de cardinaux cohérents.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle de B sachant A vaut P(B|A)=Card(A∩B)/Card(A), avec Card(A) non nul.
• S’inverser peut changer le résultat : P(B|A) et P(A|B) utilisent des dénominateurs différents.
• Les exemples « boulangerie » et « parking » se résolvent avec des rapports d’effectifs issus du tableau (intersection sur la colonne ou la ligne condition).

💡 Astuce mémo

Condition = nouveau dénominateur : on divise par la taille du filtre (A).

📖 5. Applications des probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de calcul avec tableau d’effectifs : Les applications utilisent les effectifs du tableau pour transformer les demandes en ratios d’intersections et de totaux conditionnels.
• Médicaments A et B : Les événements « pris le médicament A » et « pris le médicament B » servent à filtrer la population avant de calculer des guérisons.
• Gagné et non gagné : Les événements « gagnée » et « pas gagné » se combinent avec la couleur de la boule via des intersections d’effectifs.
• Profils H et F : Les événements « homme » et « femme » permettent de calculer des probabilités conditionnelles liées au loisir préféré.

📝 Points essentiels

• Dans l’étude de médicaments, les probabilités demandées se déduisent des cases correspondant à (Guéri ∩ A) ou (Guéri ∩ médicament A) via des rapports d’effectifs.
• Dans le sac de boules, « sachant que c’est rouge » signifie qu’on divise par le nombre total de boules rouges (et on utilise la case « gagné ∩ rouge »).
• Pour le questionnaire de 300 personnes, une fois le tableau complété, la probabilité « sachant sport » utilise la colonne « Sport » comme condition, puis on prend la part des femmes dans cette colonne.

💡 Astuce mémo

Chaque énoncé « sachant / parmi » indique quelle colonne ou ligne devient le dénominateur.

📖 6. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Un diagramme en barres représente une série statistique avec des rectangles verticaux dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs ou fréquences.
• Diagramme circulaire : Un diagramme circulaire est un disque découpé en secteurs dont l’angle est proportionnel à l’effectif.
• Proportionnalité : Dans ces graphiques, la taille d’un élément (hauteur ou angle) est proportionnelle à la valeur statistique qu’il représente.
• Somme des angles : La somme des angles de tous les secteurs d’un diagramme circulaire vaut 360°.

📝 Points essentiels

• Dans un diagramme en barres, la longueur d’un bâton est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de sa catégorie.
• Dans un diagramme circulaire, la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif et l’ensemble couvre 360°.

💡 Astuce mémo

Barres = hauteur ; circulaire = angle ; et le circulaire ferme à 360°.

📖 7. Algorithmique

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableaux et calculs : L’algorithmique s’appuie sur des tableaux d’effectifs pour effectuer des calculs de probabilités sous forme de rapports.
• Entrée-sortie de calcul : On part d’effectifs (entrée) puis on applique la formule de probabilité conditionnelle (sortie attendue).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fréquence marginale et fréquence conditionnelle revient à utiliser un mauvais dénominateur (total général au lieu de la condition, ou l’inverse).
2. Inverser A et B dans une probabilité conditionnelle change le résultat car le dénominateur devient Card(B) au lieu de Card(A).
3. Lire une case de tableau croisé comme un total de ligne ou de colonne au lieu d’un effectif d’intersection fausse l’interprétation.
4. Oublier que « parmi » impose un filtre : on ne calcule pas sur tous les individus mais seulement sur ceux qui vérifient l’événement conditionnel.
5. Chercher une probabilité « sachant que » sans identifier la bonne colonne ou la bonne ligne entraîne un ratio incorrect.
6. Dans un diagramme circulaire, croire que la somme des secteurs vaut 180° au lieu de 360° conduit à des angles incohérents.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une variable catégorielle et donner un exemple d’événements associés à ses catégories.
2. Savoir déterminer une fréquence marginale à partir d’un tableau croisé (total de ligne/colonne sur total général).
3. Savoir déterminer une fréquence conditionnelle en identifiant correctement la condition et en utilisant l’intersection sur l’effectif de la condition.
4. Savoir interpréter le sens d’un tableau croisé en associant lignes et colonnes à des événements.
5. Savoir compléter un tableau croisé à partir d’informations en pourcentage, puis vérifier avec les totaux.
6. Savoir calculer une probabilité conditionnelle P(B|A) avec la formule Card(A∩B)/Card(A).
7. Savoir résoudre des problèmes concrets (boulangerie, parking, boules, questionnaire) en traduisant « sachant / parmi » en ratio d’effectifs du tableau.
8. Savoir calculer une probabilité d’un événement combiné à une condition (exemple : guéri sachant médicament).
9. Savoir utiliser la lecture graphique : relier hauteur d’un bâton à l’effectif et angle d’un secteur à l’effectif.
10. Savoir utiliser la propriété du diagramme circulaire : somme des angles = 360°.
11. Savoir expliquer le lien entre graphique et effectifs/fréquences (proportionnalité des tailles aux valeurs).