Quiz: Introduction aux vecteurs dans le plan — 12 questions

1. Dans un repère du plan, quelle condition caractérise le couple de vecteurs qui forme une base ?

A. Ils ont la même norme

B. Ils sont de même direction

C. Ils sont perpendiculaires

D. Ils sont non colinéaires

Answer: (D)

Explanation

Une base du plan est formée de deux vecteurs non colinéaires. Cette condition permet d’écrire de façon unique tout vecteur du plan comme combinaison linéaire des deux vecteurs de base.

2. Si un point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère, que peut-on dire du vecteur OM⃗ ?

A. Il a pour coordonnées (-x ; -y)

B. Il dépend seulement de x

C. Il a les mêmes coordonnées (x ; y)

D. Il n’a pas de coordonnées

Answer: (C)

Explanation

Dans le repère, les coordonnées du point M sont précisément celles du vecteur OM⃗. C’est un point essentiel du cours : le point et le vecteur associé partagent le même couple de coordonnées.

3. Quelles sont les coordonnées du vecteur h⃗ si un vecteur ⃗u a pour coordonnées (x ; y) ?

A. (x/h ; y/h)

B. (h - x ; h - y)

C. (x + h ; y + h)

D. (hx ; hy)

Answer: (D)

Explanation

Multiplier un vecteur par un scalaire revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce nombre. Ainsi, si ⃗u(x ; y), alors h⃗u a pour coordonnées (hx ; hy).

4. Si ⃗u(x ; y) et ⃗v(x' ; y'), quelles sont les coordonnées de ⃗u + ⃗v ?

A. (x' - x ; y' - y)

B. (x + x' ; y + y')

C. (x - x' ; y - y')

D. (xx' ; yy')

Answer: (B)

Explanation

La somme de deux vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée. On additionne donc les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

5. Quelles sont les coordonnées du vecteur AB⃗ si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) ?

A. (xB + xA ; yB + yA)

B. (xA - xB ; yA - yB)

C. (xB - xA ; yB - yA)

D. (xA + xB ; yA + yB)

Answer: (C)

Explanation

Le vecteur AB⃗ se calcule par différence des coordonnées de B et de A. On obtient donc (xB - xA ; yB - yA).

6. Quelle relation vectorielle explique le calcul des coordonnées de AB⃗ par soustraction ?

A. AB⃗ = OA⃗ + OB⃗

B. AB⃗ = OA⃗ × OB⃗

C. AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

D. AB⃗ = OA⃗ - OB⃗

Answer: (C)

Explanation

Le calcul de AB⃗ repose sur l’écriture AB⃗ = OB⃗ - OA⃗ dans le repère. Cette relation conduit directement à la formule de différence des coordonnées.

7. Comment calcule-t-on les coordonnées du milieu K du segment [AB] ?

A. En additionnant les coordonnées de A et de B

B. En soustrayant les coordonnées de A à celles de B

C. En faisant la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées

D. En prenant les coordonnées du point A

Answer: (C)

Explanation

Le milieu d’un segment est obtenu en moyenne séparément les abscisses et les ordonnées. Ainsi, K a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).

8. Si B est le milieu de [AC], quelle propriété de coordonnées est vérifiée ?

A. xB = (xA + xC)/2 et yB = (yA + yC)/2

B. xA = (xB + xC)/2 et yA = (yB + yC)/2

C. xB = xA + xC et yB = yA + yC

D. xC = xA - xB et yC = yA - yB

Answer: (A)

Explanation

Pour une symétrie par rapport à B, le point B doit être le milieu de [AC]. Cela se traduit par les égalités xB = (xA + xC)/2 et yB = (yA + yC)/2.

9. Quelle formule donne la norme d’un vecteur u(x ; y) dans un repère orthonormé ?

A. √(x + y)

B. x² + y²

C. |x - y|

D. √(x² + y²)

Answer: (D)

Explanation

Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur se calcule avec le théorème de Pythagore. On obtient donc ||u|| = √(x² + y²).

10. Dans un repère orthonormé, quelle formule permet de calculer la distance AB entre deux points A et B ?

A. (xB - xA) + (yB - yA)

B. √((xB + xA)² + (yB + yA)²)

C. (xA - xB)² + (yA - yB)²

D. √((xB - xA)² + (yB - yA)²)

Answer: (D)

Explanation

La distance AB est la norme du vecteur AB⃗. En coordonnées, cela donne √((xB - xA)² + (yB - yA)²) dans un repère orthonormé.

11. Quel critère permet d’affirmer que deux vecteurs non nuls sont colinéaires ?

A. Ils ont des coordonnées positives

B. Il existe un réel h tel que l’un soit l’image de l’autre par multiplication scalaire

C. Ils ont la même norme

D. Ils sont tous deux unitaires

Answer: (B)

Explanation

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’il existe un réel h tel que V⃗ = hJ⃗. La colinéarité traduit donc une relation de proportionnalité entre les deux vecteurs.

12. Quelle condition sur le déterminant de deux vecteurs caractérise leur colinéarité ?

A. Le déterminant est strictement positif

B. Le déterminant est égal à 1

C. Le déterminant est inférieur aux normes

D. Le déterminant est nul

Answer: (D)

Explanation

Le cours établit que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Un déterminant nul permet aussi de conclure à l’alignement de points associés.