Quiz: Le raisonnement par récurrence — 7 questions

1. En quoi consiste le raisonnement par récurrence dans sa structure générale ?

A. Prouver directement P(n) pour chaque entier n, sans étape intermédiaire

B. Vérifier seulement l’hérédité pour conclure sans cas de base

C. Montrer un cas de base puis prouver que P(k) implique P(k+1)

D. Déduire P(n) uniquement à partir d’une inégalité entre n et k

Answer: (C)

Explanation

La récurrence prouve un cas de base puis établit l’étape qui relie k à k+1 : si P(k) est vraie alors P(k+1) l’est aussi.

2. Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence en mathématiques ?

A. Une procédure pour calculer des intégrales définies.

B. Une technique pour résoudre toutes les équations différentielles.

C. Une méthode pour vérifier la validité d'une formule en utilisant des exemples spécifiques.

D. Une méthode pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en prouvant d'abord une base puis une étape d'hérédité.

Answer: (D)

Explanation

Le raisonnement par récurrence consiste à prouver une propriété pour un cas initial, puis à démontrer que si elle est vraie pour un entier k, alors elle l'est aussi pour k+1, permettant ainsi de conclure qu'elle est vraie pour tous les entiers naturels.

3. Pourquoi l’axiome/principe de récurrence exige-t-il à la fois une initialisation et une hérédité ?

A. Parce que démontrer seulement l’hérédité suffit à garantir P(n) à partir du premier rang

B. Parce que l’hérédité remplace toujours l’initialisation

C. Parce qu’il faut montrer que P vaut au rang initial puis que l’hypothèse au rang k mène au rang k+1

D. Parce que démontrer seulement l’initialisation suffit à garantir P(k+1) pour tout k

Answer: (C)

Explanation

Le principe combine l’initialisation (P vrai au rang initial) et l’hérédité (P(k) ⇒ P(k+1)) pour conclure pour tous les rangs à partir du rang initial. L’option 0 et 1 confondent la nécessité des deux étapes.

4. Quel est le premier étape essentiel dans la mise en œuvre d'une démonstration par récurrence ?

A. Formuler la propriété à démontrer

B. Prouver l'hypothèse de récurrence pour un entier k

C. Démontrer la propriété pour le cas initial

D. Vérifier que la propriété est vraie pour tous les entiers

Answer: (C)

Explanation

L'étape initiale consiste à démontrer que la propriété est vraie pour le cas de départ, généralement n=1, ce qui est essentiel pour commencer la récurrence.

5. Dans une preuve par récurrence, que signifie l’initialisation ?

A. Prouver que P(k) est vraie pour un unique entier k

B. Démontrer que P(n) est vraie au rang initial choisi

C. Montrer que l’hérédité est vraie pour tout k

D. Supposer P(k+1) vraie puis en déduire P(k)

Answer: (B)

Explanation

L’initialisation est la preuve de la propriété P(n) au rang initial retenu. Elle ne correspond ni à l’hérédité, ni à une supposition de rang suivant.

6. Quelle est la fonction principale du raisonnement par récurrence en mathématiques ?

A. Trouver une formule fermée pour une suite donnée.

B. Définir une suite en utilisant une relation de récurrence.

C. Calculer la valeur exacte d'une suite définie par une formule explicite.

D. Prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un cas initial et d'une étape d'hérédité.

Answer: (D)

Explanation

Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en prouvant d'abord un cas initial, puis en montrant que si la propriété est vraie pour un entier k, alors elle l'est aussi pour k+1.

7. Quel est le rôle exact de l’hypothèse de récurrence dans l’hérédité ?

A. Elle consiste à vérifier que P(k+1) implique P(k)

B. Elle consiste à supposer P(k) vraie et à en déduire P(k+1)

C. Elle consiste à remplacer P(k) par une propriété équivalente non reliée

D. Elle consiste à prouver P(k+1) sans utiliser P(k)

Answer: (B)

Explanation

L’hypothèse de récurrence est le fait de supposer P(k) vraie pour établir que P(k+1) l’est aussi. Les distracteurs 1 et 2 détachent l’hérédité de l’usage explicite de P(k).