Revision sheet: Les fonctions paires et impaires

📋 Plan du Cours

1. Courbes représentatives : fonctions paires
2. Courbes représentatives : fonctions impaires
3. Translation horizontale des courbes
4. Valeur absolue : définition et propriétés
5. Valeur absolue et racine carrée
6. Résolution d’inégalités avec valeur absolue

📖 1. Courbes représentatives : fonctions paires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui impose une relation entre f(x) et f(-x).
• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées signifie que le graphe se reflète verticalement autour de x = 0.
• Condition f(-x)=f(x) : La condition f(-x)=f(x) caractérise l’égalité des valeurs de la fonction pour deux abscisses opposées.

📝 Points essentiels

• Pour qu’une fonction soit paire, il faut que pour tout x de son domaine D, l’opposé -x appartienne aussi à D.
• Pour une fonction paire, on a toujours f(-x)=f(x) pour tout x de D.
• La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
• Exemple-type : la fonction carré est paire.
• Exemple-type : la fonction inverse est impaire, donc elle ne vérifie pas la condition de parité.

💡 Astuce mémo

P comme Pair : même valeur à gauche et à droite de 0 (f(-x)=f(x)).

📖 2. Courbes représentatives : fonctions impaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction impaire : Une fonction est impaire si sa courbe admet l’origine comme centre de symétrie, ce qui relie f(x) et f(-x).
• Centre de symétrie à l’origine : Le centre de symétrie à l’origine signifie que le graphe est obtenu en faisant un demi-tour autour de (0,0).
• Condition f(-x)=-f(x) : La condition f(-x)=-f(x) caractérise l’opposition des valeurs de la fonction pour deux abscisses opposées.

📝 Points essentiels

• Pour qu’une fonction soit impaire, il faut que pour tout x de son domaine D, l’opposé -x appartienne aussi à D.
• Pour une fonction impaire, on a toujours f(-x)=-f(x) pour tout x de D.
• La courbe d’une fonction impaire possède l’origine comme centre symétrique.
• Exemple-type : la fonction inverse est impaire.
• Si une fonction est impaire, alors ses valeurs changent de signe quand on remplace x par -x.

💡 Astuce mémo

I comme Impair : signe opposé à gauche et à droite (f(-x)=-f(x)).

📖 3. Translation horizontale des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation horizontale : Une translation horizontale déplace le graphe sans changer sa forme, en modifiant seulement les abscisses.
• Fonction g : x ↦ f(x - m) : La fonction g obtenue par g(x)=f(x-m) correspond au déplacement horizontal du graphe de f.
• Image par translation de vecteur (m;0) : L’image de la courbe par la translation de vecteur (m;0) correspond au décalage horizontal de m unités.

📝 Points essentiels

• Si g(x)=f(x-m), alors la courbe Cg est l’image de Cf par la translation de vecteur (m;0).
• Le décalage est horizontal : seules les abscisses sont modifiées, pas l’ordonnée associée à la même valeur de f.
• Pour g(x)=f(x-2), on a g(0)=f(-2).
• Pour g(x)=f(x-2), on a g(2)=f(0).
• Dans l’exemple, g(0)=f(-2) donne la valeur -1 et g(2)=f(0) donne la valeur 1 (selon les valeurs indiquées).

💡 Astuce mémo

g(x)=f(x-m) : le graphe de f glisse de m vers la droite (car on “retarde” l’abscisse).

📖 4. Valeur absolue : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue |x| : La valeur absolue mesure la distance à 0 sur la droite numérique, donc elle est toujours non négative.
• |x| = x si x positif : Quand x est positif, la valeur absolue ne change pas la valeur numérique.
• |x| = -x si x négatif : Quand x est négatif, la valeur absolue prend l’opposé de x pour obtenir une valeur positive.
• Propriété |x| ≥ 0 : La valeur absolue d’un réel est toujours supérieure ou égale à zéro.

📝 Points essentiels

• |x| se note avec des barres : |x|.
• Si x est positif, alors |x|=x.
• Si x est négatif, alors |x|=-x.
• Pour tout réel x, on a |x| ≥ 0 et |x|=0 équivaut à x=0.
• Deux réels opposés ont la même valeur absolue : |x|=|-x|.
• |x|=|y| équivaut à x=y ou x=-y.

💡 Astuce mémo

Distance à 0 : on enlève le signe (|x| est toujours ≥ 0).

📖 5. Valeur absolue et racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée de x² : La racine carrée de x² renvoie la valeur non négative associée à x.
• Identité √(x²)=|x| : L’expression √(x²) est égale à la valeur absolue de x, ce qui relie racine carrée et distance à 0.
• Exemple √5² : L’exemple montre que la racine carrée d’un carré redonne la valeur absolue correspondante.

📝 Points essentiels

• On utilise l’identité √(x²)=|x|.
• L’exemple √5² = 5 illustre que la racine carrée d’un carré donne une valeur positive.
• L’exemple √(-5)² = 5 montre que le signe de -5 disparaît après mise au carré puis racine.
• La valeur obtenue est toujours non négative car une racine carrée est ≥ 0.
• Cette identité sert à simplifier des expressions contenant √(quelque chose²).

💡 Astuce mémo

Carré puis racine : ça “efface” le signe → √(x²)=|x|.

📖 6. Résolution d’inégalités avec valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité avec valeur absolue : Une inégalité contenant |…| se traite en séparant les cas selon le signe de l’expression à l’intérieur des barres.
• Cas x+1 ≥ 0 : Quand l’expression à l’intérieur des barres est non négative, la valeur absolue s’écrit sans changer le signe.
• Cas x+1 < 0 : Quand l’expression à l’intérieur des barres est négative, la valeur absolue prend l’opposé.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inégalité avec valeur absolue, on étudie le signe de l’expression à l’intérieur des barres.
• Si x+1 ≥ 0, alors |x+1| = x+1.
• Si x+1 < 0, alors |x+1| = -(x+1) = -x-1.
• Le cours insiste sur le fait que les x ne sont pas négatifs dans l’exemple de traitement, ce qui conditionne le choix de cas.
• Le passage indiqué montre le remplacement de |x+1| par une expression linéaire selon le signe de x+1.

💡 Astuce mémo

|A| devient A si A≥0, sinon devient -A (on choisit le cas avec le signe de A).

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions paires vs impaires

Type	Condition	Symétrie du graphe
Paire	f(-x)=f(x)	Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
Impaire	f(-x)=-f(x)	Centre de symétrie à l’origine

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la symétrie : une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, pas par rapport à l’origine.
2. Oublier la condition sur le domaine : pour être paire ou impaire, -x doit appartenir au domaine quand x y appartient.
3. Se tromper de règle pour la valeur absolue : |x| n’est pas x quand x est négatif.
4. Croire que √(x²)=x : la racine donne toujours une valeur non négative, donc √(x²)=|x|.
5. Résoudre une inégalité avec valeur absolue sans séparer les cas selon le signe de l’expression à l’intérieur des barres.

✅ Checklist Examen

1. Savoir caractériser une fonction paire via f(-x)=f(x) et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
2. Savoir caractériser une fonction impaire via f(-x)=-f(x) et la symétrie centrale par rapport à l’origine.
3. Savoir interpréter g(x)=f(x-m) comme une translation horizontale de vecteur (m;0) et calculer g(0) ou g(2) avec l’exemple.
4. Savoir appliquer la définition de la valeur absolue : |x|=x si x≥0 et |x|=-x si x<0.
5. Savoir utiliser les propriétés : |x|≥0, |x|=0 ⇔ x=0, |x|=|-x|, et |x|=|y| ⇔ x=y ou x=-y.
6. Savoir transformer √(x²) en |x| et traiter des exemples du type √5² et √(-5)².
7. Savoir résoudre une inégalité avec valeur absolue en remplaçant |x+1| par x+1 ou -x-1 selon le signe de x+1.