Les limites de fonctions en analyse

1. 📌 L'essentiel

• Limite infinie en +∞ ou −∞ : f(x) > A ou < A pour x suffisamment grand, limite +∞ ou −∞.
• Limite finie en +∞ ou −∞ : lim f(x) ℓ si |f(x)−ℓ| < ε pour x > x₀.
• Limite en un réel a : finie (lim f(x = ℓ) ou infinie (f(x) → ±∞).
• Asymptotes horizontales : y = ℓ lorsque lim f(x) = ℓ en +∞ ou −∞.
• Asymptotes verticales : x = a lorsque lim f(x) = ±∞ en a.
• Théorème des gendarmes : si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.
• Opérations sur limites : somme, produit, quotient (avec précautions), formes indéterminées.
• Limite de eˣ : +∞ en +∞, 0 en −∞ ; eˣ domine xⁿ en croissance.
• Limite de xⁿ e−ˣ : 0 en +∞.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Limite infinie : comportement asymptotique en +∞ ou −∞.
• Asymptote horizontale : y = ℓ, limite finie en +∞ ou −∞.
• Asymptote verticale : x = a, limite infinie en a.
• Fonction exponentielle : croissance rapide, limite 0 en −∞, +∞ en +∞.
• Théorème des gendarmes : encadrement pour déterminer limite.
• Formes indéterminées : 0/0, ∞−∞, ∞/∞, manipulées par simplification.