Limites de suites en analyse

1. 📌 L'essentiel

• Limite finie : suite convergente vers un réel $l$; pour tout $\varepsilon > 0$, existe $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow |u_n - l| < \varepsilon$.
• Limite infinie : $u_n \to +\infty$ si pour tout $A$, il existe $N$ tel que $n \q N \Rightarrow u_n A$.
• Opérations sur limites :
  • Somme : $\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$ (sous conditions).
  • Produit : $\lim (u_n v_n) = (\lim u_n)(\lim v_n)$.
  • Quotient : $\lim (u_n / v_n) = (\lim u_n)/(\lim v_n)$, si $\lim v_n \neq 0$.
• Formes indéterminées : $0/0$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty / \infty$; étude spécifique nécessaire.
• Suites géométriques : $u_n = u_0 q^n$.
  • Si $|q| < 1$, $u_n \to 0$.
  • Si $q=1$, $u_n \to u_0$.
  • Si $|q| > 1$, divergence.
• Suites monotones :
  • Croissantes et bornées convergent.
  • Décroissantes et minorées convergent.
• Théorèmes clés :
  • Comparaison : si $u_n \leq v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$.
  • Encadrement : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n, w_n \to l$, alors $u_n \to l$.