Maîtrise de la loi normale et transformation Z

📋 Plan du Cours

1. Loi normale Gaussienne
2. Fonction de densité
3. Propriétés densité
4. Courbe en cloche
5. Paramètres μ et σ
6. Probabilités et intégrales
7. Table de la loi normale
8. Transformation Z
9. Intervalle de confiance
10. Application taille étudiants
11. Application factures
12. Application âge premiers mots

📖 1. Loi normale Gaussienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝜇) et l’écart-type (𝜎). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles et sociales.

• Variable aléatoire normale : Variable X dont la distribution suit une loi normale, notée 𝑿 ∼ 𝓝(𝜇; 𝜎²). Elle possède une espérance E(X) = 𝜇 et une variance Var(X) = 𝜎².

• Fonction de densité : Fonction 𝑓(𝑥) = (1 / (√(2𝜋) 𝜎)) * exp(- (𝑥 - 𝜇)² / (2𝜎²)). Elle décrit la probabilité de trouver la variable dans un intervalle précis.

• Symétrie : La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne 𝜇. La moitié des observations se trouve au-dessus, l’autre moitié en dessous.

• Propriétés probabilistes :

  • 50% des observations sont supérieures ou inférieures à 𝜇.
  • Environ 68% sont dans l’intervalle [𝜇 - 𝜎, 𝜇 + 𝜎].
  • Environ 95% dans [𝜇 - 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎].
  • Environ 99,7% dans [𝜇 - 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎].