Quiz: Notions clés en limites et dérivées — 10 questions

1. Quelle limite usuelle vaut 1 lorsque h tend vers 0 ?

A. (cos(h)-1)/h

B. h^3

C. sin(h)/h

D. 1/(1+h)

Answer: (C)

Explanation

La limite classique 26nbsp;sin(h)/ha0 vaut 1 quand h tend vers 0. Les autres expressions tendent respectivement vers 0, 0 et 1, mais pour des raisons diffe9rentes.

2. Quelle est la définition d'une limite en 0 d'une fonction ?

A. La valeur que la fonction atteint exactement en 0

B. La variation instantanée de la fonction à 0

C. La valeur de la fonction en 0

D. La valeur que la fonction approche lorsque la variable tend vers 0

Answer: (D)

Explanation

Une limite en 0 décrit la valeur que la fonction approche quand la variable indépendante tend vers 0, sans nécessairement être définie en ce point.

3. Que vaut la limite de 1/h lorsque h tend vers 0 en restant positif ?

A. 0

B. -1

C. +a0e9a0

D. 1

Answer: (C)

Explanation

Quand h tend vers 0 par valeurs positives, 1/h devient arbitrairement grand et sa limite est +a0e9a0. Si h tendait vers 0 par valeurs ne9gatives, la limite serait au contraire -a0e9a0.

4. Quelle limite vaut lim(h→0) sin(h)/h selon les règles usuelles ?

A. 0

B. h

C. ∞

D. 1

Answer: (D)

Explanation

La limite de sin(h)/h lorsque h tend vers 0 est égale à 1, ce qui est une limite fondamentale en analyse.

5. Comment se de9finit le nombre de9rive9 de f en a ?

A. Comme la pente de n'importe quelle droite passant par A

B. Comme la valeur de f(a) multiplie9e par a

C. Comme la limite de [f(a+h)-f(a)]/h lorsque h tend vers 0

D. Comme la limite de f(a+h)-f(a) sans division par h

Answer: (C)

Explanation

Le nombre de9rive9 en a est la limite du quotient de taux de variation [f(a+h)-f(a)]/h quand h tend vers 0. Il faut donc bien diviser par h et ve9rifier que la limite existe.

6. Quel est le rôle principal de la limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h lorsque h tend vers 0 dans l'interprétation cinématique d'une fonction ?

A. Elle calcule la valeur moyenne de la fonction autour de a.

B. Elle mesure la variation du point par rapport à l'axe des ordonnées.

C. Elle définit la pente de la tangente à la courbe en a.

D. Elle détermine la valeur précise de la fonction en a.

Answer: (C)

Explanation

La limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h quand h tend vers 0 correspond à la pente instantanée de la courbe en a, c'est-à-dire la dérivée en ce point, ce qui est central dans l'interprétation cinématique.

7. Si la tangente e0 la courbe de f au point A(a,f(a)) a pour pente m, quelle est son e9quation ?

A. y=m x+a

B. y=f'(x)+a

C. y=m(x-a)+f(a)

D. y=f(a)x+m

Answer: (C)

Explanation

L'e9quation de la tangente en a est y=f(a)+f'(a)(x-a), donc avec une pente m on e9crit y=m(x-a)+f(a). La droite passe bien par le point A(a,f(a)).

8. Quand a été établi que la limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h lorsque h tend vers 0 définit la dérivabilité d'une fonction en a ?

A. Au XVIIIe siècle, avec l'invention du calcul différentiel par Newton et Leibniz.

B. Dans les années 1850, lors de l'élaboration de la rigueur en analyse.

C. En 1821, par Augustin-Louis Cauchy, qui formalise la limite du taux de variation.

D. Au début du XIXe siècle, avec les travaux de Cauchy.

Answer: (C)

Explanation

La limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h, qui définit la dérivabilité, a été formellement établie par Augustin-Louis Cauchy en 1821. Cela a permis d'ancrer rigoureusement la notion de dérivée.

9. En quoi la notion de fonction dérivée diffère-t-elle de celle de fonctions usuelles exprimées par des règles de dérivation préétablies ?

A. Les fonctions usuelles ne possèdent pas de dérivée, contrairement à la fonction dérivée qui est toujours définie.

B. La dérivée d'une fonction dérivée est toujours constante, alors que celle des fonctions usuelles peut varier.

C. La fonction dérivée représente une nouvelle fonction qui donne la pente de la tangente en chaque point, tandis que les fonctions usuelles sont déjà connues pour avoir des dérivées simples.

D. La fonction dérivée ne s'applique qu'aux fonctions polynomiales, alors que les fonctions usuelles incluent toutes les autres fonctions.

Answer: (C)

Explanation

La fonction dérivée associe à chaque point la pente de la tangente, différant des expressions directes des fonctions usuelles, qui ont des règles simplifiées pour leur dérivation.

10. Qui est crédité de la formulation de la règle de dérivation du quotient en calcul différentiel ?

A. Isaac Newton

B. Augustin-Louis Cauchy

C. Gottfried Wilhelm Leibniz

D. Bernard Riemann

Answer: (C)

Explanation

Gottfried Wilhelm Leibniz est crédité de l'invention de la notation différentielle et de la règle du quotient en calcul différentiel, ce qui a permis de formaliser cette règle.