Quiz: Notions fondamentales en exponentielles et géométrie vectorielle — 12 questions

1. Quelle condition caractérise la fonction exponentielle parmi les fonctions dérivables ?

A. S’annuler en 0 et avoir une dérivée constante

B. Vérifier f(0)=1 et f'=f

C. Vérifier f(1)=0 et f'=-f

D. Être toujours positive et périodique

Answer: (B)

Explanation

La fonction exponentielle est définie par la condition initiale f(0)=1 et l’équation différentielle f'=f. Les autres propositions décrivent des comportements incompatibles avec cette caractérisation.

2. Pourquoi deux fonctions g et f vérifiant g'=g et g(0)=1 coïncident-elles ?

A. Parce qu’elles ont la même primitive

B. Parce que leur quotient est constant et vaut 1 en 0

C. Parce qu’elles sont toutes deux égales à e

D. Parce que leur dérivée est nulle partout

Answer: (B)

Explanation

En posant h=1/g, on obtient h'=0, donc h est constante, et comme h(0)=1, on en déduit h=1 puis g=f. Ce raisonnement montre l’unicité de la fonction vérifiant ces conditions.

3. Que permet de conclure l’égalité f(-x)f(x)=1 pour tout x ?

A. La fonction ne s’annule jamais

B. La fonction change de signe à chaque x

C. La fonction est impaire

D. La fonction est périodique

Answer: (A)

Explanation

Si f(-x)f(x)=1, alors f(x) ne peut jamais être nul, sinon le produit serait nul. Cela exclut toute annulation sur le domaine.

4. Si f(x)>0 et f'(x)>0 sur un intervalle, quel comportement a f sur cet intervalle ?

A. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

B. Elle est constante

C. Elle est décroissante

D. Elle est croissante

Answer: (D)

Explanation

Le signe positif de la dérivée indique que la fonction augmente lorsque x augmente. La positivité de f n’est pas ce qui détermine la croissance, mais le texte associe ici f'(x)>0 à une fonction croissante.

5. Quelle identité relie e^{x+y} à e^x et e^y ?

A. e^{x+y}=(e^x)^y

B. e^{x+y}=e^x\times e^y

C. e^{x+y}=e^x+e^y

D. e^{x+y}=e^x/e^y

Answer: (B)

Explanation

La somme des exposants correspond à un produit : e^{x+y}=e^x\times e^y. La division correspond au cas x-y, pas à la somme.

6. Que vaut (e^x)^n pour un réel n ?

A. e^{nx}

B. e^{x/n}

C. e^{x+n}

D. n e^x

Answer: (A)

Explanation

La règle donnée est (e^x)^n=e^{nx}. Elle traduit la compatibilité entre puissance et multiplication des exposants.

7. Quelle formule exprime le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide de leurs normes et de l’angle entre eux ?

A. \|u\|\,\|v\|\sin(u,v)

B. \|u\|\,\|v\|\cos(u,v)

C. \|u\|/\|v\|

D. \|u\|+\|v\|

Answer: (B)

Explanation

Le produit scalaire s’écrit norme du premier × norme du second × cosinus de l’angle. Le sinus intervient dans d’autres contextes, pas dans cette formule.

8. Dans quel cas le produit scalaire de deux vecteurs est-il nul ?

A. Quand les vecteurs ont la même norme

B. Quand les vecteurs forment un angle aigu

C. Quand les vecteurs sont colinéaires

D. Quand les vecteurs sont orthogonaux

Answer: (D)

Explanation

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul. C’est une propriété fondamentale du produit scalaire.

9. Quelle forme correspond à l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées ?

A. y=mx+p

B. x=k

C. y^2=mx+p

D. ax+by+c=0

Answer: (A)

Explanation

L’équation réduite d’une droite non verticale est y=mx+p, où m est la pente et p l’ordonnée à l’origine. La forme ax+by+c=0 est cartésienne.

10. Que représente un vecteur normal à une droite d’équation ax+by+c=0 ?

A. Un vecteur parallèle à la droite

B. Un vecteur de coordonnées (a,b)

C. Un vecteur de coordonnées (-b,a)

D. Un vecteur de coordonnées (b,-a)

Answer: (B)

Explanation

Dans une équation cartésienne ax+by+c=0, le vecteur normal est donné par les coefficients de x et y, donc (a,b). Un vecteur directeur est, lui, orthogonal à ce normal.

11. Quel critère caractérise le cercle de diamètre [AB] ?

A. Les points M vérifient AM=BM

B. Les points M vérifient \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OM}=0

C. Les points M vérifient \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0

D. Les points M vérifient \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=0

Answer: (C)

Explanation

Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul. C’est la propriété de l’angle droit dans le cercle de diamètre.

12. Comment écrire une équation cartésienne d’une droite à partir d’un vecteur normal n ?

A. En imposant \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{n}

B. En imposant \|\overrightarrow{n}\|=1

C. En imposant \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=1

D. En imposant \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0

Answer: (D)

Explanation

Une droite de vecteur normal n est décrite par l’orthogonalité entre n et tout vecteur de la droite, ce qui s’écrit \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0. Cela conduit à une équation de la forme ax+by+c=0.