Quiz: Orthogonalisation de Schmidt en R3 — 4 questions

1. Dans l’orthonormalisation de Schmidt dans R3, quelle condition doit vérifier un nouveau vecteur avant sa normalisation pour être rendu orthogonal aux précédents ?

A. Son produit scalaire avec chaque vecteur précédent doit être nul

B. Ses coordonnées doivent être toutes positives

C. Sa norme doit déjà être égale à 1

D. Il doit être parallèle au premier vecteur

Answer: (A)

Explanation

Avant la normalisation, on construit un vecteur orthogonal aux vecteurs déjà obtenus, ce qui se teste par un produit scalaire nul. La norme égale à 1 intervient seulement après la normalisation.

2. Dans R3 euclidien canonique, comment calcule-t-on la norme euclidienne d’un vecteur à partir de ses coordonnées ?

A. En additionnant les coordonnées puis en prenant la valeur absolue

B. En multipliant les coordonnées entre elles puis en prenant la racine carrée

C. En prenant la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées

D. En divisant la plus grande coordonnée par la plus petite

Answer: (C)

Explanation

La norme euclidienne se calcule en additionnant les carrés des coordonnées puis en prenant la racine carrée. Les autres propositions ne correspondent pas à la définition de la norme.

3. Pour le vecteur u1 obtenu à partir de e1=(-1,1,1), quelle est sa forme correcte ?

A. (1/√3, -1/√3, -1/√3)

B. (-1, 1, 1)

C. (-1/2, 1/2, 1/2)

D. (-1/√3, 1/√3, 1/√3)

Answer: (D)

Explanation

On normalise e1 de norme √3, ce qui donne u1 = (-1/√3, 1/√3, 1/√3). La proposition (-1,1,1) n’est pas normalisée.

4. Dans le calcul de la base orthonormée, quelle est la forme finale de u3 ?

A. (-1, 1, 0)

B. (-1/√6, 1/√6, 2/√6)

C. (-1/√2, 1/√2, 0)

D. (1/√2, -1/√2, 0)

Answer: (C)

Explanation

On obtient u3' = (-1,1,0), de norme √2, donc u3 = (1/√2)(-1,1,0) = (-1/√2, 1/√2, 0). La réponse (-1,1,0) correspond au vecteur avant normalisation.