Principe de récurrence et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence
2. Exemple de suite récurrente
3. Inégalité de Bernoulli

📖 1. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété P(n) : Une propriété dépendant d’un entier naturel n, notée P(n), sur laquelle on veut établir une vraie formule pour tous les rangs.
• Hérédité à partir de n₀ : Condition où, pour tout n ≥ n₀, la vérité de P(n) entraîne la vérité de P(n + 1).
• Initialisation : Condition où P(n₀) est vraie pour un rang de départ n₀ donné.
• Axiome de récurrence : Règle disant qu’avec initialisation vraie et hérédité à partir de n₀, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

📝 Points essentiels

• La hérédité exige que pour tout entier naturel n ≥ n₀, P(n) vraie implique P(n + 1) vraie.
• Le principe de récurrence combine une initialisation P(n₀) vraie et une hérédité à partir de n₀.
• Si l’initialisation échoue, même une hérédité correcte ne suffit pas à conclure pour tous les rangs.
• La hérédité seule ne garantit pas la vérité : une propriété peut être héréditaire et fausse (exemple avec « 2ⁿ multiple de 3 »).

💡 Astuce mémo

Initialisation + Hérédité = propagation; sans l’amorce, la chaîne ne démarre pas.

📖 2. Exemple de suite récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (uₙ) : Une suite définie par une règle de récurrence reliant uₙ₊₁ à uₙ.
• Récurrence de uₙ : Relation qui fixe uₙ₊₁ à partir de uₙ, ici uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7.

📝 Points essentiels