Revision sheet: Principes des tests statistiques

📋 Plan du Cours

1. But et principe du test
2. Hypothèses et seuil de signification
3. Paramètre et loi de probabilité
4. Région critique et décision
5. Erreurs et p-value
6. Représentativité et conditions
7. Choix de la loi statistique

📖 1. But et principe du test

🔑 Notions clés & Définitions

• Test statistique : Étudie une ou plusieurs populations à partir d’échantillons représentatifs afin de répondre à une question posée sur ces populations.

★ À maîtriser

• La démarche consiste à extraire des échantillons représentatifs d’une ou plusieurs populations, puis à répondre à la question étudiée à partir des observations recueillies.

Compléments

• Un test statistique peut chercher à déterminer s’il existe une association entre la tension artérielle systolique et l’indice de masse corporelle chez les hommes adultes.

💡 Astuce mémo

Population → échantillon → réponse

📖 2. Hypothèses et seuil de signification

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : H0 est l’hypothèse que le test cherche à évaluer, par exemple l’égalité entre les populations.
• Hypothèse alternative : H1 est la nouvelle hypothèse retenue lorsque l’hypothèse nulle H0 est fausse, par exemple une différence entre les populations.

📝 Points essentiels

• Le seuil de signification α est généralement fixé à 5 % et représente le risque maximal autorisé pour rejeter H0.

💡 Astuce mémo

H0 : égalité ; H1 : différence

📖 3. Paramètre et loi de probabilité

★ À maîtriser

• La définition du paramètre nécessite de trouver la loi de probabilité correspondante et de choisir un paramètre qui met en jeu la différence observée.

Compléments

• Le choix du paramètre dépend du nombre et du type de variables, de la taille de l’échantillon et des conditions des différents tests.

• Pour choisir la loi de probabilité, il faut d’abord déterminer si les variables sont qualitatives ou quantitatives et si les échantillons sont petits ou grands.

📖 4. Région critique et décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Région critique : La région qui a α chances de contenir la valeur du paramètre lorsque H0 est vraie.

★ À maîtriser

• Le paramètre est calculé à partir de la région observée dans l’échantillon, puis comparé à la région critique.

📌 Si le paramètre appartient à la région critique, H0 est rejetée avec un risque d’erreur de première espèce inférieur ou égal à α, et la différence observée est déclarée significative.

📌 Si le paramètre n’appartient pas à la région critique, H0 ne peut pas être rejetée au risque α et la différence observée n’est pas significative à ce seuil.

Compléments

• La région critique est déterminée à partir de la table associée à la loi de probabilité utilisée, notamment la table de l’écart réduit pour la loi normale.

💡 Astuce mémo

Région critique → calcul → décision

📖 5. Erreurs et p-value

🔑 Notions clés & Définitions

• p-value : La probabilité d’obtenir au moins la différence observée si H0 est vraie.

★ À maîtriser

📌 L’erreur de première espèce consiste à rejeter H0 alors qu’elle est vraie, tandis que l’erreur de seconde espèce consiste à accepter H0 alors qu’elle est fausse.

• Le risque d’erreur de première espèce est noté α et le risque d’erreur de seconde espèce est noté β.

📌 Si p ≤ 5 %, H0 est rejetée car la probabilité d’observer cette différence est inférieure ou égale au seuil de signification de 5 %.

Compléments

📌 Plus l’échantillon est petit, plus le risque β est grand, et ce risque diminue lorsque la taille de l’échantillon augmente.

📖 6. Représentativité et conditions

★ À maîtriser

• Pour évaluer la représentativité d’un échantillon tiré au sort, on compare l’échantillon à la population en posant H0 : « l’échantillon est représentatif de la population pour la maladie ».

• La principale condition d’approximation d’une loi connue est la taille des échantillons : les grands échantillons permettent une approximation, contrairement aux petits échantillons.

Compléments

📌 Si H0 n’est pas rejetée dans le test de représentativité, l’échantillon est considéré comme représentatif de la population pour la maladie étudiée.

• La somme d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes, de lois quelconques, suit approximativement une loi normale.

📖 7. Choix de la loi statistique

★ À maîtriser

📌 Pour l’étude des moyennes, la loi normale peut être utilisée lorsque l’effectif est N ≥ 30.

📌 Pour l’étude des proportions, la loi normale peut être utilisée lorsque N ≥ 30 et que np ≥ 5 ainsi que n(1-p) ≥ 5.

📌 Pour tester l’indépendance de deux variables qualitatives, la loi du χ² peut être utilisée lorsque les effectifs théoriques sont tous supérieurs ou égaux à 5.

Compléments

• Lorsque la loi de probabilité du paramètre n’est pas connue, on utilise des tests non paramétriques.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’erreurs statistiques

Erreur	Situation	Risque
Première espèce	Rejeter H0 alors qu’elle est vraie	α
Seconde espèce	Accepter H0 alors qu’elle est fausse	β

Choix de la loi selon l’étude

Étude	Conditions	Loi
Moyennes	N ≥ 30	Normale
Proportions	N ≥ 30, np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5	Normale
Indépendance de deux variables qualitatives	Effectifs théoriques ≥ 5	χ²