Principes et techniques de récurrence et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Méthode de démonstration par récurrence
3. Exemples de récurrence sur les suites
4. Inégalité de Bernoulli par récurrence
5. Rôle de l’initialisation en récurrence
6. Limite infinie et limite finie des suites
7. Limites des suites usuelles
8. Opérations sur les limites et formes indéterminées
9. Lever une indétermination par factorisation
10. Lever une indétermination par expression conjuguée

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Méthode de preuve qui établit qu’une propriété reste vraie pour tous les entiers à partir d’un rang initial grâce à une étape d’hérédité.
• Principe d’hérédité : Propriété selon laquelle, si une propriété est vraie à un rang $k$, alors elle est vraie au rang suivant $k+1$.
• Propriété héréditaire : Propriété dite héréditaire à partir d’un rang $k_0$ si, pour tout $k\ge k_0$, la vérité au rang $k$ entraîne la vérité au rang $k+1$.
• Initialisation : Étape de récurrence où l’on vérifie que la propriété $P$ est vraie au rang de départ $n!$.
• Démonstration par récurrence : Preuve utilisant l’initialisation et l’hérédité pour conclure que la propriété $P$ vaut pour tous les entiers $n\ge n!$.

📝 Points essentiels