Quiz: Probabilités conditionnelles et indépendance — 10 questions

1. Quelle est la formule de la probabilité de B sachant que A est réalisé, lorsque P(A) est non nulle ?

A. P_A(B)=P(A\cap B)\div P(A)

B. P_A(B)=P(B)\div P(A\cap B)

C. P_A(B)=P(A)\times P(B)

D. P_A(B)=P(A\cup B)\div P(A)

Answer: (A)

Explanation

La probabilité conditionnelle de B sachant A est le quotient de la probabilité de l’intersection par celle de A. La multiplication simple correspondrait à une indépendance, pas à une conditionnalité.

2. Dans une probabilité conditionnelle, quel piège est le plus classique ?

A. Remplacer l’intersection par l’union

B. Confondre P(A) avec P(B)

C. Confondre P_A(B) avec P(A\cap B)

D. Additionner les probabilités des événements incompatibles

Answer: (C)

Explanation

P_A(B) et P(A\cap B) sont deux quantités différentes : la première est une probabilité « ramenée à A », la seconde est la probabilité que A et B se produisent ensemble. C’est la confusion la plus fréquente.

3. Que représente la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud dans un arbre pondéré ?

A. Elle vaut la probabilité de la racine

B. Elle vaut la probabilité de l’événement complémentaire

C. Elle vaut 1

D. Elle vaut la probabilité du chemin complet

Answer: (C)

Explanation

Dans un arbre pondéré, toutes les branches partant d’un même nœud forment une répartition complète, donc leur somme est égale à 1. Cela permet de vérifier la cohérence de l’arbre.

4. Sur un arbre pondéré, à quoi correspond un chemin allant de la racine à un nœud terminal ?

A. À une probabilité conditionnelle unique

B. À un événement

C. À une somme de probabilités

D. À une partition de l’univers

Answer: (B)

Explanation

Un chemin de l’arbre représente un événement décrit par la suite des choix successifs. Sa probabilité se calcule ensuite en multipliant les probabilités des branches parcourues.

5. Comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré ?

A. En soustrayant les probabilités successives

B. En divisant la première probabilité par la dernière

C. En multipliant les probabilités des branches parcourues

D. En additionnant les probabilités des branches parcourues

Answer: (C)

Explanation

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches successives. On ne les additionne pas, car chaque étape conditionne la suivante.

6. Dans l’exemple où l’on a 0,55 puis 0,90 sur un chemin, quelle est la probabilité du chemin correspondant ?

A. 1,45

B. 0,145

C. 0,495

D. 0,05

Answer: (C)

Explanation

On multiplie les probabilités des branches : 0,55 × 0,90 = 0,495. C’est l’application directe de la règle du produit le long d’un chemin.

7. Quelle condition doit vérifier une famille d’événements pour pouvoir appliquer la formule des probabilités totales ?

A. Être tous compatibles

B. Être tous indépendants

C. Former une partition de l’univers

D. Avoir la même probabilité

Answer: (C)

Explanation

La formule des probabilités totales s’applique à une partition de l’univers, c’est-à-dire des घटनements deux à deux incompatibles dont la réunion est l’univers. L’indépendance n’est pas requise.

8. Quelle écriture correspond à la formule des probabilités totales lorsque {A1, …, An} est une partition et que les P(Ai) ne sont pas nuls ?

A. P(B)=P(A1)+…+P(An)

B. P(B)=P(A1)P_{A1}(B)+…+P(An)P_{An}(B)

C. P(B)=P(A1\cap…\cap An)

D. P(B)=P(A1)\times…\times P(An)

Answer: (B)

Explanation

La formule des probabilités totales pondère chaque probabilité conditionnelle par la probabilité de l’événement de la partition correspondant. On additionne ensuite ces contributions.

9. Quand deux événements A et B, de probabilités non nulles, sont-ils indépendants ?

A. Lorsque P(A\cup B)=P(A)+P(B)

B. Lorsque P(A)=P(B)

C. Lorsque P(A\cap B)=0

D. Lorsque P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

Answer: (D)

Explanation

Le critère d’indépendance est la relation multiplicative entre la probabilité de l’intersection et le produit des probabilités. L’intersection nulle traduit au contraire une incompatibilité, pas une indépendance.

10. Si A et B sont indépendants, quelle propriété est vraie pour les événements complémentaires ?

A. A et B sont aussi indépendants

B. Leur intersection vaut toujours 0

C. A et B deviennent incompatibles

D. Leur réunion vaut toujours 1

Answer: (A)

Explanation

L’indépendance se conserve avec les complémentaires : si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi. Cela fait partie des égalités utiles liées à l’indépendance.