Revision sheet: Propagation d'ondes et interférences

📋 Plan du Cours

1. Généralités sur les ondes
2. Ondes stationnaires et surfaces d’onde
3. Équation d’Alembert et dispersion
4. Ondes électromagnétiques et OPPM
5. Vecteur de Poynting et intensité
6. Réflexion, réfraction et coefficients
7. Interférences de deux ondes
8. Interférences multiples et dispositifs
9. Diffraction et réseau

📖 1. Généralités sur les ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde mécanique : Une onde mécanique est une perturbation qui se propage grâce à un support physique, où le milieu se comprime et se dilate pendant le passage de l’onde.
• Onde électromagnétique : Une onde électromagnétique est une perturbation formée par un champ électrique et un champ magnétique, capable de se propager dans un matériau ou dans le vide.
• Onde gravitationnelle : Une onde gravitationnelle est une déformation de l’espace-temps qui se propage sans nécessiter de support matériel.
• Onde monochromatique : Une onde monochromatique est une vibration sinusoïdale liée à une seule fréquence $F_0$, donc à une seule pulsation $\omega_0$.

📝 Points essentiels

• Une onde est la propagation d’une perturbation sans transport de matière ; la grandeur perturbatrice est le pression pour le son, les champs $E$ et $B$ pour l’électromagnétique, et la déformation de l’espace-temps pour les ondes gravitationnelles.
• Pour une source monochromatique, la vibration s’écrit $a(t)=A_0\cos(2\pi F_0 t+\varphi_0)=A_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$ avec $F_0=1/T_0$ et $\omega_0=2\pi F_0$.
• La propagation le long de $x$ sans atténuation s’écrit $a(t,x)=A_0\cos\big(2\pi F_0(t-x/v)+\varphi_0\big)=A_0\cos(\omega_0 t-kx+\varphi_0)$ avec $\tau=x/v$.
• Pour cette onde monochromatique, la longueur d’onde vérifie $\lambda=vT_0$ et le nombre d’onde vaut $k=2\pi/\lambda$.
• Une onde polychromatique contient plusieurs fréquences $F_i$ dans un intervalle $[F_1,F_2]$, et pour retrouver $A(F)$ on utilise la transformée de Fourier sur cette bande.
• Quand l’onde est vectorielle, la vibration et la propagation ont des directions distinctes, donc $a(t)$ et le vecteur d’onde $\vec k$ doivent être traités comme des vecteurs.

💡 Astuce mémo

retard τ = x/v : dans $\cos(\omega t-kx+\varphi)$, le terme $kx$ correspond au décalage temporel de la source.

📖 2. Ondes stationnaires et surfaces d’onde

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde stationnaire : Une onde stationnaire résulte de la superposition d’ondes de même fréquence et de même amplitude se propageant en sens opposés, produisant une vibration dont l’amplitude dépend de la position.
• Nœuds : Les nœuds sont des positions d’une onde stationnaire où la grandeur vibratoire s’annule, donc où il n’y a aucune vibration.
• Ventre : Les ventres sont des positions d’une onde stationnaire où l’amplitude de vibration atteint sa valeur maximale.
• Surface d’onde : Une surface d’onde (front d’onde) est un ensemble de points ayant la même phase, donc atteints avec le même temps de parcours depuis la source.

📝 Points essentiels

• Une onde stationnaire est obtenue quand des ondes de même fréquence et de même amplitude se propagent simultanément en sens opposés, ou plus généralement par superposition de plusieurs ondes compatibles.
• Dans une onde stationnaire, la grandeur vibratoire se factorise en une fonction de l’espace F(x) et une fonction du temps G(t), ce qui explique que l’amplitude varie avec x.
• Les nœuds sont les points où l’amplitude est nulle, tandis que les ventres correspondent aux points où l’amplitude est maximale.
• Dans un milieu homogène et isotrope sans déformation, la surface d’onde d’une onde monochromatique est perpendiculaire au vecteur d’onde k.
• Les ondes planes, cylindriques et sphériques ont une amplitude constante respectivement sur des plans, des cylindres et des sphères.

💡 Astuce mémo

Nœuds = Nuls (amplitude 0) ; Ventres = Vifs (amplitude max).

📖 3. Équation d’Alembert et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde Plane Progressive Monochromatique : Une onde plane progressive monochromatique est une solution harmonique d’amplitude constante dont la phase se propage le long d’une direction donnée.
• Équation de Helmholtz : L’équation de Helmholtz décrit l’évolution spatiale des champs quand on remplace le temps dans l’équation d’Alembert par une dépendance harmonique en $\omega$.
• Vitesse de phase : La vitesse de phase est la vitesse à laquelle se déplace la phase (par exemple un maximum) dans l’espace.
• Vitesse de groupe : La vitesse de groupe est la vitesse de déplacement du maximum d’un paquet d’ondes, donc de l’enveloppe du paquet.
• Relation de Rayleigh : La relation de Rayleigh relie la vitesse de groupe à la vitesse de phase quand le milieu est dispersif.

📝 Points essentiels

• Une OPPM de pulsation $\omega$ et de vecteur d’onde réel $\vec k$ vérifie l’équation de D’Alembert avec une dépendance harmonique en temps.
• En supposant une forme harmonique, on obtient une équation d’onde spatiale du type $\Delta a +\frac{\omega^2}{v^2}a=0$, appelée équation de Helmholtz.
• La vitesse de phase vaut $v_\varphi=\omega/k$ et correspond au déplacement d’un point de même phase, par exemple sur l’axe de propagation.
• Dans un milieu non dispersif (vitesse indépendante de $\omega$), la dispersion vérifie $\omega=vk$ et on a $v_g=v_\varphi$.
• Dans un milieu dispersif, on a en général $v_g\neq v_\varphi$ et la relation de Rayleigh s’écrit $v_g=v_\varphi+k\,\frac{dv_\varphi}{dk}$.
• La vitesse de groupe n’est pertinente que pour des paquets d’ondes, pas pour les ondes planes seules.

💡 Astuce mémo

Phase : pour une onde plane, tout se lit sur $\omega$ et $k$ (vitesse = $\omega/k$) ; Groupe : pour un paquet, c’est l’enveloppe qui avance ($v_g$).

📖 4. Ondes électromagnétiques et OPPM

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de Poynting : Le vecteur de Poynting représente le flux d’énergie électromagnétique par unité de surface et par unité de temps, dirigé selon la propagation.
• Intensité lumineuse détectée : L’intensité détectée est l’énergie reçue par unité de surface et par unité de temps, donc une puissance surfacique, mesurée comme une moyenne temporelle.

📝 Points essentiels

• Maxwell réduit à 4 équations (Gauss, Faraday, flux, Ampère) unifie électricité et magnétisme et prédit l’existence d’ondes se propageant dans le vide.
• Dans un milieu, les champs E et B vérifient une équation de D’Alembert avec vitesse de phase $v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$, ce qui justifie le terme d’onde électromagnétique.
• Dans le vide, la vitesse vaut $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}=299792458\,\text{m·s}^{-1}\approx 3\times10^8\,\text{m·s}^{-1}$ et l’indice s’écrit $n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}}$.
• Pour une OPPM, les champs vérifient les orthogonalités : $\vec E\perp \vec k$ et $\vec B\perp \vec k$, et $\vec E$ et $\vec B$ forment un trièdre avec la direction de propagation.
• Le vecteur de Poynting est donné par $\vec\Pi=\frac{1}{\mu}\,\vec E\times\vec B$ et son orientation est dans la direction du vecteur d’onde $\vec k$.
• Une mesure réelle d’intensité est une moyenne temporelle : les détecteurs ont $\tau\approx10^{-1}\,\text{s}$ alors que $T\approx10^{-14}\,\text{s}$, donc $I_m=\langle I\rangle$ et elle est maximale si le détecteur est perpendiculaire au faisceau.

💡 Astuce mémo

Trièdre OPPM : $\vec E$ perpendiculaire à $\vec k$, $\vec B$ perpendiculaire à $\vec k$, et $\vec\Pi$ suit $\vec k$.

📖 5. Vecteur de Poynting et intensité

🔑 Notions clés & Définitions

• Intensité lumineuse : L’intensité lumineuse est l’énergie reçue par unité de surface et par unité de temps, donc une puissance surfacique transportée par le faisceau.

📝 Points essentiels

• Le vecteur de Poynting $\vec\Pi$ vaut $\vec\Pi=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B}$ et son module correspond au flux d’énergie par unité de temps et de surface, avec la direction du transport énergétique.
• Pour une OPPM, on a $\vec\Pi$ orienté suivant la direction de propagation, c’est-à-dire suivant le vecteur d’onde $\vec{k}$.
• Le flux d’énergie à travers une surface $dS$ pendant $dt$ vaut $d\Phi=\vec\Pi\cdot\vec{n}\,dt\,dS$, où $\vec{n}$ est la normale à la surface.
• L’intensité détectée est une moyenne temporelle de l’intensité $I$, car les fluctuations de lumière sont trop rapides pour les récepteurs ($\tau\approx 0{,}1\,s$ contre $T\approx 10^{-14}\,s$).
• Si le détecteur est perpendiculaire au faisceau, l’intensité mesurée est maximale et vaut $I_m=\frac{v\mu_0 E_0^2}{2}$ avec $v$ la direction d’onde et $E_0$ l’amplitude du champ électrique.
• Pour une incidence avec angle $(\cdot)$ entre la normale et le faisceau, l’intensité détectée suit la projection et s’écrit avec un facteur $\cos^2(\cdot)$ : $I_m\propto \cos^2(\cdot)$.

💡 Astuce mémo

Poynting = $\vec{E}\times\vec{B}$ : direction = énergie qui avance, intensité = $\Pi$ projeté sur la normale ($\cos^2$ si incliné).

📖 6. Réflexion, réfraction et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle critique : L’angle critique est la valeur seuil qui sépare les cas où la lumière peut se réfracter hors du milieu de ceux où elle reste confinée par réflexion totale interne.
• Réflexion totale interne : La réflexion totale interne est un phénomène où une onde, en incidence supérieure à l’angle critique, se réfléchit entièrement sur l’interface et ne s’échappe pas dans le milieu moins réfringent.
• Indice de réfraction : L’indice de réfraction caractérise la propagation de la lumière dans un milieu et conditionne, via les valeurs du milieu, les comportements de réflexion et de réfraction.
• Cœur et gaine : Un guide à saut d’indice comporte un cœur d’indice n1 plus grand et une gaine d’indice n2 plus petit, ce qui favorise le confinement par réfraction.

📝 Points essentiels

• Dans un guide à saut d’indice, le cœur vérifie n1>n2 et la gaine a l’indice n2.
• Quand une onde atteint la paroi interne avec un angle θ supérieur à l’angle critique, elle subit des réflexions totales sur ces parois.
• La conservation de l’énergie justifie que l’intensité reste “sans perte” lors des phénomènes de réflexion totale dans le modèle du cours.
• La réflexion totale permet à l’onde de rester guidée à l’intérieur du milieu à indice plus élevé.

📖 7. Interférences de deux ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dispositifs équivalents à Young : En optique, certains montages créent deux ondes cohérentes qui se superposent comme dans l’expérience de Young, avec une description en termes de sources secondaires synchrones.
• Biprisme de Fresnel : Le biprisme de Fresnel est un dispositif à deux prismes identiques très inclinés qui dévie les rayons et fait apparaître deux sources fictives S1 et S2.
• Miroir de Lloyd : Le miroir de Lloyd associe une source réelle au reflet sur un miroir pour produire une source image S' et faire interférer deux faisceaux sur l’écran.
• Bilentilles de Billet : Les bilentilles de Billet utilisent deux demi-lentilles issues d’une même lentille convergente pour générer deux images S1 et S2 susceptibles d’interférer.

📝 Points essentiels

• L’intensité sur l’écran est décrite par la même relation que pour Young (III-27) lorsque le montage équivaut à deux sources secondaires cohérentes.
• Dans le biprisme de Fresnel, les deux faisceaux se comportent comme s’ils provenaient de sources fictives S1 et S2, obtenues par une rotation d’angle D_i=(n-1)A.
• Pour le biprisme de Fresnel, la distance entre les sources fictives vaut a=S1S2=2d(n-1)A et la distance source-écran vaut D=d+L.
• Dans le miroir de Lloyd, le faisceau réfléchi interfère avec le faisceau direct comme si la source secondaire était l’image S' de S par le miroir, ce qui revient à prendre a=2a' dans (III-27).
• Dans les bilentilles de Billet, chaque demi-lentille forme une image réelle S1 et S2 et l’intensité sur l’écran s’obtient avec (III-27) où D=D'-P-P' et 1/P'+1/P=1/f.
• La division de l’amplitude produit des interférences dites localisées (sur le dispositif ou à l’infini), contrairement aux interférences non localisées obtenues en prélevant deux parties d’un même front d’onde.

💡 Astuce mémo

Biprisme : déviation angulaire (n−1)A + géométrie → a = 2d(n−1)A (comme deux sources “fictives” symétriques).

📖 8. Interférences multiples et dispositifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneaux de Newtons : Les anneaux de Newtons sont des motifs d’interférences en cercles concentriques dus à la superposition de rayons réfléchis dans une lame d’air.
• Interféromètre de Michelson : L’interféromètre de Michelson est un dispositif à deux miroirs et une lame séparatrice qui crée des interférences en comparant deux trajets optiques.
• Lame compensatrice : La lame compensatrice est une lame ajoutée dans le Michelson pour égaliser le nombre de traversées des rayons entre les deux bras.
• Configuration en lame d’air : La configuration en lame d’air correspond à deux surfaces parallèles où l’interférence provient d’une différence de marche entre deux chemins.
• Configuration en coin d’air : La configuration en coin d’air correspond à un faible angle entre deux surfaces, créant une différence de marche qui varie le long de l’espace.

📝 Points essentiels

• Dans l’arrangement en lame d’air (anneaux de Newtons), les franges sombres vérifient $r_s^2=R m\lambda$, donc $r_s=\sqrt{R m\lambda}$ avec $m\in\mathbb{N}$, et les franges claires vérifient $r_c^2=R\left(m-\tfrac12\right)\lambda$.
• Pour des faisceaux en incidence normale dans le Michelson, le déphasage vaut $\Delta\varphi=2kd+\pi$ (le rayon $R_2$ reçoit en plus un déphasage $\pi$ par réflexion sur la lame).
• Pour une incidence oblique d’angle $i$ dans le Michelson, le déphasage devient $\Delta\varphi=2kd\cos i+\pi$.
• Dans le Michelson, avec $\alpha=0$ et $d_1\ne d_2$, ou avec $d_1=d_2$ et $\alpha\ne 0$, on obtient un déphasage entre $R_1$ et $R_2$ et donc des interférences.
• Avec le coefficient de réflexion en intensité de la lame séparatrice $R=0{,}5$, on a $I_1=I_2=I_0$, ce qui permet d’obtenir des franges pour $2d\cos i=m\lambda$ (sombres) et $2d\cos i=(m-\tfrac12)\lambda$ (claires).

💡 Astuce mémo

Newton : sombre à $m\lambda$ (pas de demi), clair à $(m-\tfrac12)\lambda$ (demi). Michelson : conditions via $2d\cos i$ en pas de $\lambda/2$.

📖 9. Diffraction et réseau

🔑 Notions clés & Définitions

• Diffraction de Fresnel : La diffraction de Fresnel décrit le champ diffracté quand l’écran est à une distance finie du diaphragme, en utilisant l’approximation où le facteur géométrique K est pris constant (zone de champ proche).
• Diffraction de Fraunhofer : La diffraction de Fraunhofer décrit le champ diffracté en champ lointain, lorsque la variation de 1/r est négligeable devant la variation de phase.
• Fonction sinus cardinal sinc : La fonction sinus cardinal, notée sinc, apparaît pour une ouverture rectangulaire et contrôle l’enveloppe des intensités par des zéros régulièrement espacés.
• Réseau de N fentes : Un réseau de N fentes est une succession de fentes identiques espacées régulièrement, dont l’intensité résulte d’un mélange de diffraction de chaque fente et d’interférences entre fentes.

📝 Points essentiels

• Pour un trou circulaire de demi-diamètre a, les minima nuls sur l’axe vérifient $\lambda\,m=z_m/ a^2$, soit $z_m=\frac{m a^2}{\lambda}$ pour $m\ge 0$.
• La frontière entre zones de Fresnel et de Fraunhofer est donnée par $z_0=\frac{a^2}{\lambda}$, avec $z\le z_0$ (champ proche) et $z\ge z_0$ (champ lointain).
• Pour une fente rectangulaire, l’enveloppe de diffraction vaut $\mathrm{sinc}^2\! obreak\big(\frac{c\,x'}{\lambda z}\big)$ et s’annule quand $x'_m$ vérifie $\frac{c\,x'_m}{\lambda z}=m\pi$.
• En superposant interférences (de Young) et diffraction (fente de largeur c), l’intensité devient un produit $\cos^2$ (interférences) fois $\mathrm{sinc}^2$ (diffraction), ce qui limite l’observation des franges à mesure que l’on s’éloigne.
• Pour un réseau, l’intensité s’écrit comme le produit d’un terme de diffraction (sinus cardinal) et d’un terme d’interférence donné par un rapport de sinus, reproduisant la figure d’interférences du chapitre III mais atténuée par la diffraction.

💡 Astuce mémo

Faisceau = interférences (sinus) × enveloppe (sinc) : les sinc effacent les franges quand on s’éloigne du centre.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
4000 ans avant Jésus-Christ	Apparition de l’optique chez les Sumériens
1650	Descartes (1596-1650)
1905	Einstein interprète la lumière via les photons
1927	Vérification expérimentale de la dualité onde-corpuscule par Davisson et Germer
1815	Fresnel reprend le principe d’Huygens (Huygens-Fresnel)
1873	Maxwell : lumière onde électromagnétique transversale
1865	Maxwell publie son troisième article sur les phénomènes électriques et magnétiques
1888	Hertz confirme l’existence d’ondes électromagnétiques

📊 Tableaux de synthèse

Vitesse de phase vs vitesse de groupe

Grandeur	Définition (cours)	Milieu / usage
Vitesse de phase	Vitesse à laquelle se propage la phase, définie par (dans le cours) vφ=ω/k	OPPM : représente la propagation de l’onde ; en milieu non dispersif, vg=vφ
Vitesse de groupe	Vitesse de déplacement du maximum du paquet d’ondes (enveloppe), définie par vg=∂Re(ω)/∂Re(k)	Non significative pour des ondes planes seules ; utile dans paquets / milieu dispersif

Diffraction de Fresnel vs Fraunhofer

Régime	Condition (cours)	Conséquence
Fresnel	Champ proche : z≤z0 (avec z0=a²/λ)	Fluctuations rapides ; calcul basé sur l’intégrale de Fresnel (écran pas nécessairement loin)
Fraunhofer	Champ lointain : z≥z0=a²/λ	Variations de 1/r négligeables devant les variations de phase ; intensité via intégrales simplifiées et sinc pour une fente

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre temps de retard τ=x/v et le terme en phase kx : le cours relie a(t,x) à un décalage temporel via τ.
2. Croire qu’une onde stationnaire se propage : dans le cours, elle résulte de la superposition en sens opposés et l’amplitude dépend seulement de x.
3. Mélanger vitesse de groupe et vitesse de phase : la vitesse de groupe n’est pas pertinente pour des ondes planes seules.
4. Inverser les directions : pour une OPPM, E et B sont perpendiculaires à k et le trièdre indique l’orientation de Π suivant k.
5. Oublier la moyenne temporelle de l’intensité détectée Im : le cours impose Im=<I> car τ des détecteurs >> période T.
6. Se tromper sur les conditions d’interférences : franges sombres vs claires dépendent des valeurs de Δφ (pas seulement de δ).
7. Dire que la diffraction n’affecte pas les franges : dans le cours, l’intensité devient un produit (interférences) × sinc² (enveloppe) qui atténue quand on s’éloigne.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer qu’une onde est une propagation d’une perturbation sans transport de matière et donner les trois types (mécaniques, électromagnétiques, gravitationnelles) avec la grandeur perturbatrice.
2. Écrire la vibration d’une onde monochromatique a(t)=A0 cos(2πF0 t+φ0) et rappeler F0=1/T0 et ω0=2πF0.
3. Écrire la forme de propagation sans atténuation a(t,x)=A0 cos(2πF0(t-x/v)+φ0)=A0 cos(ω0 t-kx+φ0) et donner λ=vT0 et k=2π/λ.
4. Définir onde polychromatique (plusieurs fréquences dans [F1,F2]) et rappeler que la transformée de Fourier donne A(F) dans cette bande.
5. Pour une onde vectorielle, préciser que la vibration et la propagation sont des directions distinctes : a(t) vecteur amplitude (polarisation) et k vecteur (propagation).
6. Donner la définition d’une onde stationnaire par superposition de deux ondes de même fréquence et amplitude en sens opposés, et rappeler nœuds (amplitude nulle) / ventres (amplitude max), ainsi que la factorisation y(x,t)=F(x)G(t).
7. Écrire l’équation de D’Alembert en 1D (sans atténuation) puis la forme Helmholtz pour une OPPM et exprimer vφ=ω/k et vg (paquet), avec vg=vφ en milieu non dispersif.
8. Pour une OPPM électromagnétique, préciser les orthogonalités (E⊥k, B⊥k, trièdre) puis écrire le vecteur de Poynting Π=(1/μ)E×B et lier l’énergie à la direction de k.
9. Donner l’idée énergétique : intensité mesurée Im=<I> (moyenne temporelle) et rappeler que Im est maximale si le détecteur est perpendiculaire au faisceau.
10. Énoncer les principes de réflexion/réfraction sur une interface : conservation de la pulsation, continuité des composantes parallèle au travers de l’interface, et donner les coefficients en amplitude et l’énergie R+T=1 (conservation de l’énergie).
11. Pour un guide à saut d’indice, rappeler n1>n2 (cœur/gaine) et le rôle des réflexions totales ; relier l’équation de dispersion de l’onde et le fait que le milieu est dispersif (vφ≠vg).
12. Interférences : écrire l’intensité pour deux sources cohérentes (dépendance en cos(Δφ)) et donner la relation entre déphasage et différence de marche δ (avec δ=n(d2-d1) et Δφ=2πδ/λ) ainsi que l’interfrange i=aλ/D.
13. Dispositifs équivalents à Young (biprisme de Fresnel, miroir de Lloyd, bilentilles de Billet) : rappeler que la figure d’écran suit la relation de Young avec une distance a déterminée par la géométrie (sources fictives/image) et D la distance source-écran.
14. Diffraction : distinguer Fresnel (champ proche, z≤a²/λ) et Fraunhofer (champ lointain, z≥a²/λ) et rappeler qu’une fente rectangulaire donne une enveloppe en sinc².