Réduction des Endomorphismes et Formes Quadratiques

1. 📌 L'essentiel

• Un endomorphisme est représenté par une matrice dépendant de la base choisie.
• La diagonalisation permet de simplifier la matrice en une diagonale (si possible).
• La trigonalisation (triangulaire) est toujours possible sur un corps algébriquement clos.
• La diagonalisation nécessite que la somme des dimensions des espaces propres = dimension de l’espace.
• La forme quadratique est une application homogène de degré 2, associée à une forme bilinéaire symétrique.
• La signature d’une forme quadratique indique le nombre de carrés positifs et négatifs dans sa décomposition canonique.
• Une forme est non dégénérée si sa matrice associée est inversible.
• La méthode de Gauss sert à diagonaliser ou réduire une forme quadratique.
• Deux matrices sont semblables si liées par une conjugaison P−1 A P, représentant la même application dans des bases différentes.
• La signature permet de classifier les formes quadratiques selon leur nature positive ou négative.