Relations de comparaison des suites

📋 Plan du Cours

1. Domination et négligeabilité
2. Comparaison des suites usuelles
3. Opérations sur les comparaisons
4. Équivalence des suites
5. Obtention pratique des équivalents
6. Propriétés conservées par équivalence

📖 1. Domination et négligeabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Domination : La suite x est dominée par la suite y, notée $x=O(y)$, lorsque y_n est non nul à partir d’un certain rang et que la suite $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ est bornée.
• Négligeabilité : La suite x est négligeable devant la suite y, notée $x=o(y)$, lorsque y_n est non nul à partir d’un certain rang et que la suite $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ converge vers 0.

★ À maîtriser

📌 La négligeabilité implique la domination : si $x=o(y)$, alors $x=O(y)$, sous réserve que y_n soit non nul à partir d’un certain rang.

Compléments

• Pour toute suite x, $x=O(1)$ équivaut à dire que x est bornée, tandis que $x=o(1)$ équivaut à dire que x converge vers 0.

📖 2. Comparaison des suites usuelles

★ À maîtriser

📌 Si $\alpha<\beta$, alors $n^\alpha=o(n^\beta)$.

📌 Si $0<a<b$, alors $a^n=o(b^n)$.

Compléments

📌 Si $\alpha>0$ et $a>1$, alors $n^\alpha=o(a^n)$.