Revision sheet: Second degré et discriminant

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du polynôme
2. Résolution selon le discriminant

📖 1. Forme canonique du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c appartiennent à ℝ et où a≠0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction f(x)=ax²+bx+c, avec a≠0, s'écrit de manière unique sous la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a).

Compléments

• Dans l'expression ax²+bx+c, les réels a, b et c sont appelés les coefficients du polynôme.

🔄 Processus — La forme canonique s'obtient en factorisant a puis en utilisant l'identité remarquable x²+2xy+y²=(x+y)² pour compléter le carré.

📐 Formule — Pour tout x réel, ax²+bx+c=a[(x+b/(2a))²−(b²−4ac)/(4a²)].

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → canonique

📖 2. Résolution selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Du polynôme ax²+bx+c est le réel Δ=b²−4ac.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si Δ>0, l'équation ax²+bx+c=0 possède deux solutions réelles distinctes x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a).

📌 Si Δ=0, l'équation ax²+bx+c=0 possède une solution réelle double x₀=−b/(2a).

📌 Si Δ<0, l'équation ax²+bx+c=0 ne possède aucune solution réelle.

Compléments

📐 Formule — L'équation ax²+bx+c=0 se réécrit a[(x+b/(2a))²−Δ/(4a²)]=0, avec a≠0.

💡 Astuce mémo

Δ positif, nul ou négatif

📊 Tableaux de synthèse

Solutions selon le discriminant

Condition sur Δ	Nombre de solutions réelles	Solutions
Δ>0	Deux solutions distinctes	x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a)
Δ=0	Une solution double	x₀=−b/(2a)
Δ<0	Aucune solution	Aucune solution réelle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le coefficient a ne peut pas être nul, sinon le polynôme ne serait pas de degré 2.
2. Le discriminant est b²−4ac, et non b²+4ac.
3. La forme canonique utilise α et β, tandis que la forme développée utilise a, b et c.
4. Les deux solutions distinctes apparaissent uniquement lorsque le discriminant est strictement positif.