Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Définitions et convergence
2. Conditions et opérations élémentaires
3. Restes et séries télescopiques
4. Séries de référence
5. Séries à termes positifs
6. Convergence absolue et domination
7. Séries alternées et intégrales
8. Comparaison série-intégrale

📖 1. Définitions et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Suite des sommes partielles $$S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n$.
• Convergence d’une série : La série $\sum u_n$ converge lorsque la suite de ses sommes partielles converge.
• Somme d’une série : Lorsque la série converge, sa somme est la limite $\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=n_0}^{N}u_n$.

📝 Points essentiels

• La série de Bâle converge et vérifie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. — Euler, problème de Bâle, 1735

💡 Astuce mémo

Sommes partielles convergentes → série convergente

📖 2. Conditions et opérations élémentaires

📌 Si la série $\sum u_n$ converge, alors son terme général vérifie $u_n\to0$.

• La série harmonique $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n$ diverge alors que $\frac1n\to0$.