Lernzettel: Introduction aux Systèmes Numériques et Logiques

📋 Plan du Cours

1. Nombres binaires et conversions
2. Opérations binaires et complément à 2
3. Nombres réels à virgule flottante
4. Nombres hexadécimaux et autres bases
5. Codage des caractères et Unicode
6. Booléens et fonctions logiques

📖 1. Nombres binaires et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• bit : Le bit est l’unité élémentaire d’information, stockée sous forme de 0 ou de 1.
• octet : L’octet est un groupe de 8 bits utilisé pour organiser et stocker des données.
• puissances de 2 : Les puissances de 2 sont les valeurs de référence $2^0,2^1,2^2,\dots$ qui pondèrent les chiffres d’un nombre binaire.
• conversion binaire vers décimal : La conversion binaire vers décimal consiste à pondérer chaque bit par la puissance de 2 correspondante puis à additionner.
• conversion décimal vers binaire : La conversion décimal vers binaire consiste à décomposer le nombre décimal en somme de puissances de 2 puis à former les bits.

📝 Points essentiels

• Un bit ne peut prendre que deux états : 0 (hors tension) ou 1 (sous tension).
• Une valeur binaire est une combinaison de puissances de 2, avec une somme des puissances correspondant aux bits à 1.
• Pour convertir binaire → décimal, on multiplie chaque bit par la puissance de 2 associée puis on additionne toutes les valeurs.
• Pour convertir décimal → binaire, on décompose le nombre en somme de puissances de 2 (ex. $97=64+32+1$), puis on met 1 dans les colonnes utilisées et 0 ailleurs.
• Exemple donné : la conversion binaire 10110011 vers décimal donne 179.
• Exemple donné : pour 97, la lecture du tableau produit la dernière ligne binaire (tableau de décomposition mentionné).

💡 Astuce mémo

binaire → décimal = bits × puissances de 2 puis somme ; décimal → binaire = décomposition puis marquer 1 là où on a choisi une puissance.

📖 2. Opérations binaires et complément à 2

🔑 Notions clés & Définitions

• table d’addition binaire : La table d’addition binaire décrit le résultat de $0+0$, $0+1$, $1+0$ et $1+1$ sur un bit avec retenue.
• table de multiplication binaire : La table de multiplication binaire décrit le résultat de $0\times0$, $0\times1$, $1\times0$ et $1\times1$ sur un bit.
• complément à 1 : Le complément à 1 est l’inversion bit à bit des 0 et des 1 d’une écriture binaire.
• méthode du complément à 2 : La méthode du complément à 2 code un entier négatif en gardant un bit de signe puis en utilisant complément à 1 et ajout de 1.
• overflow (dépassement) : L’overflow est un dépassement lié aux limites de représentation des opérations en binaire.

📝 Points essentiels

• Pour l’addition binaire sur un bit : $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$ avec une retenue de 1 vers le bit suivant.
• Pour la multiplication binaire sur un bit : $0\times0=0$, $0\times1=0$, $1\times0=0$, $1\times1=1$, puis on décale comme en base 10.
• La méthode du complément à 2 commence par écrire le nombre sur 8 bits.
• On réserve le bit de poids fort pour le signe : 0 pour positif et 1 pour négatif.
• Le complément à 2 se construit par inversion des bits (complément à 1) puis ajout de 1 en tenant compte des retenues.

💡 Astuce mémo

complément à 2 = signe + inversion + +1 (comme “prendre l’opposé en mode binaire”).

📖 3. Nombres réels à virgule flottante

🔑 Notions clés & Définitions

• écriture à virgule flottante : L’écriture à virgule flottante représente un réel en séparant une partie significative (mantisse) d’un exposant basé sur des puissances.
• mantisse : La mantisse est la partie significative d’un réel, donnée en binaire à l’aide de puissances négatives de 2.
• approximation des réels : L’approximation des nombres en virgule flottante signifie que la valeur réelle ne peut pas toujours être représentée exactement avec un nombre fini de bits.
• test d’égalité des réels : Le test d’égalité des réels en virgule flottante signifie qu’on compare rarement deux valeurs exactes, car des erreurs d’approximation existent.

📝 Points essentiels

• La mantisse en décimal est un réel dans l’intervalle $[1;2[$, puis elle peut être codée avec des puissances négatives de 2.
• Les réels en virgule flottante sont définis sur un nombre fini de bits, donc la représentation est approximative.
• Conséquence : on ne peut pas faire de test d’égalité fiable entre deux nombres réels représentés en machine.
• Une pratique donnée : tester si la différence entre deux réels est inférieure à un seuil plutôt que d’utiliser l’égalité stricte.

💡 Astuce mémo

virgule flottante = “pas assez de bits” ⇒ approximation ⇒ égalité à remplacer par “différence < seuil”.

📖 4. Nombres hexadécimaux et autres bases

🔑 Notions clés & Définitions

• langage en base 16 : Le langage hexadécimal est un système en base 16 utilisant 16 symboles allant de 0 à F.
• conversion hexadécimal vers décimal : La conversion hexadécimal vers décimal multiplie chaque chiffre hexadécimal par la puissance de 16 associée puis additionne.
• conversion décimal vers hexadécimal : La conversion décimal vers hexadécimal consiste à décomposer le décimal en somme de puissances de 16 puis à construire les chiffres.
• autres bases : Un système de base $n$ fonctionne avec des puissances de $n$ et des symboles adaptés à la valeur de la base.
• système octal : Le système octal est une base 8 qui utilise uniquement les symboles 0 à 7.

📝 Points essentiels

• En base 10, le système utilise 10 symboles (0 à 9) ; en base 2, 2 symboles (0 et 1).
• En base 16, les 16 symboles sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
• Pour hexadécimal → décimal : on pondère par les puissances de 16 puis on additionne.
• Pour décimal → hexadécimal, on décompose en puissances de 16 (exemple de décomposition montrant 0x4E6 via le tableau).
• Le système octal utilise la base 8 et les symboles 0 à 7, avec une conversion analogue basée sur les puissances de 8.

💡 Astuce mémo

hexadécimal = “par paquets de 16” : comme binaire par puissances de 2, mais ici c’est 16.

📖 5. Codage des caractères et Unicode

🔑 Notions clés & Définitions

• ASCII : ASCII est une norme de codage reliant des caractères à leurs valeurs binaires, initialement sur 7 bits.
• ISO-8859-1 : ISO-8859-1 est une norme de codage sur 8 bits (256 caractères), avec des variantes par pages ISO 8859-n.
• Unicode : Unicode est une norme de codage construite à partir d’un jeu universel de caractères (UCS) géré par le consortium Unicode.
• UTF-8 : UTF-8 est un encodage à taille variable qui code les caractères Unicode en 1 à 4 octets.
• octet d’en-tête UTF-8 : L’octet d’en-tête UTF-8 contient un motif de bits permettant de déterminer le nombre total d’octets du caractère.

📝 Points essentiels

• ASCII apparaît comme norme en 1961, avec une représentation sur 7 bits (128 caractères).
• ASCII contient 95 caractères imprimables et 33 codes de contrôle.
• ISO-8859-1 utilise 8 bits, donc 256 caractères, avec une base commune ASCII (codes 0 à 127) et une partie spécifique (128 à 255).
• Unicode est développé depuis 1990 (avec la version 8.0 indiquée en juin 2015) et repose sur le JUC (UCS).
• UTF-8 code les premiers caractères (ASCII) sur 1 octet, puis sur 2, 3 ou 4 octets selon le motif de l’octet d’en-tête (110→2 octets, 1110→3, 11110→4).

💡 Astuce mémo

UTF-8 : le nombre de 1 consécutifs après le premier bit 1 indique le nombre total d’octets du caractère (110→2, 1110→3, 11110→4).

📖 6. Booléens et fonctions logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• booléen : Un booléen est un type de variable à deux états, utilisé pour représenter des valeurs de vérité.
• George Boole : George Boole est présenté comme fondateur de l’algèbre de BOOLE, à l’origine du nom du type booléen.
• table de vérité : Une table de vérité liste toutes les combinaisons d’entrées logiques et la sortie obtenue.
• fonction NOT : La fonction NOT inverse la valeur de vérité de son entrée.
• fonctions logiques AND OR XOR : AND, OR et XOR sont des fonctions booléennes appliquées à deux entrées pour produire une sortie de vérité.

📝 Points essentiels

• En informatique, le vrai est modélisé par 1 et le faux par 0.
• On distingue clairement l’affectation avec l’opérateur '=' et le test logique avec l’opérateur '=='.
• Une fonction booléenne retourne toujours l’un des deux états et peut être représentée par une table de vérité.
• NOT inverse l’état d’entrée ; AND réalise un ET logique entre 2 entrées.
• OR réalise un OU logique ; NAND inverse le résultat de AND ; NOR inverse le résultat de OR ; XOR réalise un OU EXCLUSIF.

💡 Astuce mémo

XOR = “différent” (équivalent à “ou exclusif”) ; NAND/NOR = “ET/OU puis inversion”.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1971	Le premier micro-processeur contenait 2300 transistors.
2018	Un processeur en contenait plus de 2 milliards.
1961	Apparition de la première norme de codage ASCII.
1990	Début du développement d’Unicode par le consortium Unicode.
juin 2015	Version 8.0 d’Unicode indiquée en juin 2015.

📊 Tableaux de synthèse

Bases numériques

Base	Symboles	Puissance de référence
10	0 à 9	10^k
2	0 et 1	2^k
16	0 à F	16^k
8	0 à 7	8^k

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre '=' (affectation) et '==' (test) lors des conditions en programmation.
2. Croire que l’égalité de deux nombres réels en virgule flottante est fiable malgré l’approximation des représentations.
3. Utiliser une conversion décimal → binaire sans décomposer en somme de puissances de 2 comme demandé.
4. Inverser le rôle du bit de poids fort dans le complément à 2 : il sert au signe (0 positif, 1 négatif).
5. Penser que UTF-8 est fixe en longueur : les caractères peuvent être codés sur 1, 2, 3 ou 4 octets.
6. Penser que l’ASCII suffit pour tous les alphabets et les accents alors que des normes comme ISO 8859 puis Unicode sont introduites pour étendre les caractères.

✅ Checklist Examen

1. Savoir ce qu’est un bit et ce qu’est un octet.
2. Convertir un binaire en décimal en pondérant chaque bit par les puissances de 2 puis en additionnant.
3. Convertir un décimal en binaire en décomposant en somme de puissances de 2 et en remplissant les bits avec 1/0.
4. Énoncer les résultats de $0+0$, $0+1$, $1+0$, $1+1$ en binaire (avec retenue).
5. Énoncer les résultats de $0\times0$, $0\times1$, $1\times0$, $1\times1$ en binaire et savoir qu’on décale comme en décimal.
6. Décrire les étapes de la méthode du complément à 2 sur 8 bits (signe, complément à 1, +1).
7. Donner la plage donnée pour la mantisse en décimal : $[1;2[$.
8. Expliquer pourquoi on ne teste pas l’égalité exacte de deux réels représentés en virgule flottante.
9. Résumer la règle de conversion des bases hexadécimal ↔ décimal via puissances de 16.
10. Rappeler la liste des symboles hexadécimaux (0 à F) et la définition du système octal (0 à 7).
11. Rappeler les caractéristiques demandées d’ASCII : 7 bits, 128 caractères, 95 imprimables et 33 de contrôle.
12. Rappeler la structure d’ISO 8859-1 : 8 bits, 256 caractères, base commune ASCII (0 à 127) et spécifique (128 à 255).
13. Rappeler comment UTF-8 détermine le nombre d’octets à partir du motif de l’octet d’en-tête (110/1110/11110).
14. Savoir les valeurs booléennes : vrai=1 et faux=0, et distinguer '=' de '=='.