Lernzettel: Analyse des séries temporelles et indices

📋 Plan du Cours

1. Objectif et notations des séries temporelles
2. Exprimer les taux en pourcentage
3. Écart absolu entre deux dates
4. Indices en base 1 et base 100
5. Usages des indices base 100
6. Calculs de taux via indices base 100
7. Indices chaînés à base glissante
8. Taux de variation moyen et coefficient multiplicateur
9. Pourquoi la moyenne arithmétique ne convient pas

📖 1. Objectif et notations des séries temporelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série temporelle : Une série temporelle est une suite de valeurs d’une grandeur observées à des dates successives pour étudier son évolution.
• Valeur à la date t : La valeur à la date t est la grandeur g observée à l’instant t, notée gt dans le cours.
• Notation gt : La notation gt désigne la valeur de la grandeur g observée à la date t.
• Taux en pourcentage : Un taux en pourcentage exprime une proportion rapportée à 100 unités de référence.
• Taux de variation : Un taux de variation mesure l’écart entre deux dates exprimé comme proportion d’un niveau de référence.

📝 Points essentiels

• L’objectif des séries temporelles est de juger l’évolution d’une variable dans le sens (hausse/baisse) et avec l’ampleur (intensité).
• La notation gt correspond à la valeur de g observée à la date t, par exemple le PIB de la France en 2016.
• Dire qu’un taux vaut a% revient à dire que la proportion correspond à a pour 100 unités de référence.
• Un taux exprimé en “pour une unité” s’écrit en décimal (a% devient a/100), ce qui est moins pratique pour la lecture.
• Pour un taux de croissance de 0,3% : si le niveau initial vaut 100, le niveau final vaut 100,3 (augmentation absolue de 0,3).
• Pour un taux d’inflation annuelle de 1,4% : si le niveau initial vaut 100, le niveau final vaut 101,4 (augmentation absolue de 1,4).

💡 Astuce mémo

Pour cent = pour 100 : a% signifie “a sur 100”, donc on passe de 100 à 100+a·(1/100) pour obtenir le nouveau niveau.

📖 2. Exprimer les taux en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation mesure l’écart absolu entre deux dates rapporté à la valeur initiale.
• Écart absolu : L’écart absolu est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale.
• Valeur initiale : La valeur initiale est la grandeur prise comme référence dans le calcul du taux de variation.
• Taux de variation en pourcentage : Un taux de variation en pourcentage exprime le même rapport que le taux de variation, mais multiplié par 100.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre deux dates s’obtient en calculant l’écart absolu puis en le divisant par la valeur initiale.
• Formule du taux de variation exprimé par rapport à l’unité : $\tau_{1/0}=\dfrac{g_1-g_0}{g_0}$.
• Formule du taux de variation en pourcentage : $\tau_{1/0}=\dfrac{g_1-g_0}{g_0}\times 100$.
• Entre 2016 et 2018, les hybrides augmentent d’environ 50 000 mais avec un taux d’environ 82,76%, tandis que l’essence augmente d’environ 299 000 avec un taux d’environ 34,13%.
• Un taux de variation négatif signifie une baisse de la grandeur observée (ex. gazole : -4,86% puis -15,75%).
• La notation $\tau_{1/0}$ se lit “par rapport à l’année 0” : le dénominateur correspond à l’année de référence.

💡 Astuce mémo

Écart absolu = différence ; taux = différence / départ ; en % : taux × 100.

📖 3. Écart absolu entre deux dates

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart absolu : L’écart absolu entre deux dates est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale d’une grandeur.
• Taux de variation : Le taux de variation mesure l’évolution relative d’une grandeur par rapport à une valeur de référence, exprimée soit en %, soit “pour 1”.
• Unité du taux de variation : L’unité du taux de variation détermine le calcul : en %, il faut diviser par 100, alors qu’en “pour 1” on l’utilise directement.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le rapport entre la valeur finale et la valeur initiale d’une grandeur.

📝 Points essentiels

• Si le taux de variation est exprimé en %, on l’écrit sous la forme $\tau/100$ dans les calculs pour obtenir une variation “par 1”.
• Si le taux de variation est exprimé par rapport à 1 (valeur “pour 1”), on l’utilise directement dans la formule.
• Exemple de conversion : avec $82{,}76\%$, on a $0{,}8276$ “pour 1”, et l’augmentation se calcule avec $106=58+(0{,}8276)\times 58$.
• Interprétation du pourcentage : $82{,}76\%$ signifie que l’augmentation observée est dans le même rapport que $82{,}76$ l’est avec $100$ (donc $100+82{,}76=182{,}76$).
• Le taux de variation donne la même information que le coefficient multiplicateur, mais le coefficient est souvent plus pratique pour les calculs, notamment quand on enchaîne plusieurs dates.
• Pour un coefficient multiplicateur : si la grandeur est positive, la valeur critique est $1$ (inférieur à $1$ si baisse, supérieur à $1$ si hausse, égal à $1$ si aucune variation).

💡 Astuce mémo

Pour passer du taux au calcul : % → diviser par 100 ; “pour 1” → ne rien changer ; puis $g_1=g_0(1+\tau)$.

📖 4. Indices en base 1 et base 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation mesure l’évolution relative entre deux dates, exprimée en pourcentage ou en valeur décimale.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur $k$ transforme une valeur initiale $g_0$ en valeur finale $g_1$ via $g_1=k\,g_0$.
• Indice en base 1 : L’indice en base 1 exprime la valeur à une date comme un multiple de la valeur de référence, donc directement lié au coefficient multiplicateur.
• Indice en base 100 : L’indice en base 100 exprime la valeur à une date en pourcentage de la valeur de référence, avec une relation directe au coefficient multiplicateur.

📝 Points essentiels

• Si le taux de variation est exprimé en %, alors le coefficient multiplicateur vaut $k=1+\dfrac{\tau}{100}$ pour une augmentation et $k=1-\dfrac{\text{baisse}}{100}$ pour une diminution.
• Vérification : à partir de $g_1=g_0+\tau\,g_0$, on divise par $g_0$ pour obtenir $\dfrac{g_1}{g_0}=1+\tau$ (avec $\tau$ au bon format).
• Exemple : une hausse de 5% correspond à $k=1{,}05$ car $1{,}05=1+5/100$.
• Exemple : une baisse de 10% correspond à $k=0{,}9$ car $1-10/100=0{,}9$.
• Exemple : une baisse de 4% correspond à $k=0{,}96$ et une baisse de 27% correspond à $k=0{,}73$.
• Correspondances usuelles : « doublé »  taux $100$ et coefficient $2$ ; « triplé »  taux $200$ et coefficient $3$ ; « divisé par 2 »  coefficient $0{,}5$ et taux $-50$ ; « perdu 25% »  coefficient $0{,}75$.

💡 Astuce mémo

Hausse : $+\%\Rightarrow 1+\%/100$ ; Baisse : $-\%\Rightarrow 1-\%/100$ ; Composition : on multiplie les coefficients.

📖 5. Usages des indices base 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice base 100 : Un indice base 100 exprime une grandeur à la date t relativement à une date de référence 0, avec une valeur de référence fixée à 100.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le facteur qui transforme la valeur d’une grandeur entre deux dates, et il s’obtient en divisant la valeur à t par celle à 0.
• Indice en base 1 : Un indice en base 1 à la date t correspond exactement au coefficient multiplicateur entre la date 0 et la date t.
• Indice chaîné : Une méthode d’indices temporels qui enchaîne des bases successives pour suivre l’évolution sur plusieurs périodes.

📝 Points essentiels

• Addition des variations en pourcentage n’est pas équivalente à la multiplication des coefficients multiplicateurs, car les taux se combinent multiplicativement.
• Le passage en indices base 100 revient à changer d’unité : on multiplie chaque valeur $g_t$ par le facteur $100/g_0$ pour obtenir $I_{t/0}$.
• Définition : l’indice à la date t en base 100 à la date 0 vaut $I_{t/0}=\dfrac{g_t}{g_0}\times 100$.
• Lecture directe : avec des indices base 100, le taux de variation entre t et 0 se lit via $I_{t/0}=100+\tau_{t/0}\times 100$, donc $\tau_{t/0}=(I_{t/0}-100)/100$.
• Exemple : $I_{jan2016/2010}=102,28$ signifie un coefficient multiplicateur $1,0228$ et un taux de variation $0,0228$ soit $2,28\%$.
• Comparaison entre deux grandeurs sur longue période exige la même base et la même année de référence (par exemple 100 en 2010) pour que les indices soient comparables.

💡 Astuce mémo

Base 100 = “100 + variation en %” : $I=100(1+\tau)$, donc $\tau=(I-100)/100$.

📖 6. Calculs de taux via indices base 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice base 100 : Un indice base 100 exprime une série en la rapportant à une année de référence, ce qui permet de comparer des évolutions sur longue période.
• Année de référence : L’année de référence est l’année choisie pour fixer la base 100, et elle doit être identique pour comparer deux séries.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur mesure le facteur de passage entre deux dates, et il se lit directement à partir d’indices base 100.
• Taux de variation : Le taux de variation exprime l’évolution relative entre deux dates, obtenu à partir du coefficient multiplicateur.

📝 Points essentiels

• Pour comparer l’évolution de deux grandeurs sur longue période, il faut utiliser le même indice pour les deux séries (même base et même année de référence).
• Transformer une série en indice base 100 en 2016 permet de lire directement les coefficients multiplicateurs et les taux de variation par rapport à 2016.
• Entre 2016 et 2017, le taux est +41,38% pour les voitures hybrides contre +13,47% pour les voitures à essence (indices > 100).
• Entre 2016 et 2018, le taux est +34,13% pour les voitures à essence et +82,76% pour les voitures hybrides.
• Pour les voitures au gazole, le coefficient multiplicateur entre 2016 et 2018 vaut 0,8016, soit une baisse d’environ 20%.
• On ne lit pas directement le coefficient multiplicateur et le taux de variation entre 2017 et 2018 à partir des indices base 100 en 2016 : il faut utiliser la composition des coefficients (rapport d’indices).

💡 Astuce mémo

Base 100 = lecture directe vs l’année 0 ; entre deux dates, on fait le rapport des indices (composition).

📖 7. Indices chaînés à base glissante

🔑 Notions clés & Définitions

• Indices chaînés : Série où chaque observation est exprimée en indice base 100 par rapport à la date précédente, donc la base change à chaque période.
• Indice base 100 : Indice où la valeur de référence est fixée à 100 pour une année choisie, ce qui permet de comparer les niveaux à cette base.
• Taux de variation gt/gt−1 : Rapport entre deux valeurs successives qui mesure l’évolution de la grandeur entre t−1 et t, converti en pourcentage via ×100.
• Coefficients multiplicateurs : Facteurs successifs $g_t/g_{t-1}$ dont le produit permet de retrouver le rapport global entre deux dates.

📝 Points essentiels

• Dans une série en indices chaînés, l’indice de l’année $t$ vaut $I_{t/t-1}=\dfrac{g_t}{g_{t-1}}\times 100$.
• Pour passer des indices chaînés aux indices base 100 en année 0, on multiplie les rapports successifs : $\dfrac{g_t}{g_0}=\dfrac{g_t}{g_{t-1}}\cdot\dfrac{g_{t-1}}{g_{t-2}}\cdots\dfrac{g_1}{g_0}$.
• On obtient alors $\dfrac{I_{t/0}}{100}=\dfrac{I_{t/t-1}}{100}\cdot\dfrac{I_{t-1/t-2}}{100}\cdots\dfrac{I_{1/0}}{100}$.
• Pour calculer l’indice chaîné à partir des indices base 100 en année 0 : $I_{t/t-1}=\dfrac{g_t}{g_{t-1}}\times 100=\dfrac{I_{t/0}}{I_{t-1/0}}\times 100$.
• Les indices chaînés donnent une lecture directe des taux de variation sur chaque sous-période, mais pas directement ceux par rapport à la date 0.
• Lors de la conversion base 100 (année 0) → indices chaînés, les valeurs de l’année 1 restent identiques ; la différence apparaît à partir de l’année 2 car la base de référence change.

💡 Astuce mémo

Indices chaînés = base 100 qui “glisse” : $t$ compare $t$ à $t-1$ (pas à 0).

📖 8. Taux de variation moyen et coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation moyen : Le taux de variation moyen mesure le taux constant par période qui reproduit la même variation totale entre la date 0 et la date n.
• Coefficient multiplicateur moyen : Le coefficient multiplicateur moyen est égal à 1 plus le taux de variation moyen et représente le facteur global moyen sur n périodes.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur entre deux dates successives est le facteur qui transforme la valeur de la grandeur d’une date à la suivante.
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique d’une série de nombres est la racine $n$ du produit de ces nombres.

📝 Points essentiels

• Avec $n+1$ dates $0,1,\dots,n$, le taux de variation moyen vérifie $\tau_m=\left(\frac{g_n}{g_0}\right)^{\!1/n}-1=\left(CM_{n/0}\right)^{\!1/n}-1=\left(1+\tau_{n/0}\right)^{\!1/n}-1$.
• Le taux de variation moyen dépend uniquement de $g_0$ et $g_n$ : il est identique quel que soit le chemin suivi via $g_1,\dots,g_{n-1}$.
• Le taux de variation moyen n’est pas égal à $\tau_{n/0}$ (sauf cas particulier où $n=1$ ou variation déjà sur une seule période).
• Le taux de variation moyen n’est pas la moyenne arithmétique de $\tau_{1/0}+\tau_{2/1}+\cdots+\tau_{n/n-1}$ sur $n$ termes.
• Le coefficient multiplicateur moyen $CM_m=1+\tau_m$ vaut la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_m=\left(CM_{1/0}\times CM_{2/1}\times\cdots\times CM_{n/n-1}\right)^{\!1/n}$.
• L’exposant $1/n$ correspond à l’inverse du nombre de périodes : avec $n+1$ dates, il y a $n$ périodes entre elles.

💡 Astuce mémo

Variation totale → facteur global : on prend la racine $n$ (moyenne géométrique) puis on retire 1.

📖 9. Pourquoi la moyenne arithmétique ne convient pas

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation moyen : Le taux de variation moyen mesure l’évolution moyenne sur plusieurs périodes via un coefficient multiplicateur global.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur relie une valeur initiale à une valeur finale en traduisant l’effet cumulé des variations.
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique combine des variations multiplicatives en prenant la racine $n$ du produit des facteurs.
• Moyenne arithmétique des taux : La moyenne arithmétique additionne puis divise les taux de variation sur les périodes, sans tenir compte de la nature multiplicative.

📝 Points essentiels

• Si toutes les variations périodiques sont égales à $\tau$, alors le taux de variation moyen vaut aussi $\tau$ car le coefficient global est $(1+\tau)^n$ puis on prend la racine $n$.
• Si deux séries ont le même nombre de périodes et la même variation totale entre début et fin, alors leur taux de variation moyen est identique car elles ont le même coefficient multiplicateur global $CM_{n/0}$.
• La moyenne arithmétique vérifie la première propriété (cas de taux constants) mais pas la seconde (même variation totale).
• Exemple 1 : deux périodes à $+50\%$ donnent $CM_{2/0}=(1{,}5)(1{,}5)=2{,}25$ donc $\tau_{2/0}=1{,}25$ (soit $+125\%$) alors que la moyenne arithmétique des taux vaut $0{,}5$ (soit $+50\%$).
• Exemple 2 : $0\%$ puis $+125\%$ donne la même variation totale $+125\%$ et donc le même taux de variation moyen $0{,}5$, mais la moyenne arithmétique des taux diffère : $(0+1{,}25)/2=0{,}625\neq 0{,}5$.
• Application : pour $I_t/I_{t-1}$ avec $\tau_{1/0}=-0{,}5$, $\tau_{2/1}=-0{,}5$, $\tau_{3/2}=0{,}5$, $\tau_{4/3}=-0{,}5$, on obtient $I_4/0=56{,}25$ donc $\tau_m=(0{,}5625)^{1/4}-1\approx-0{,}134$ (soit environ $-13{,}4%

💡 Astuce mémo

Multiplicatif vs additif : $\text{moyenne géométrique}$ respecte le produit des facteurs $(1+\tau)$, alors que $\text{moyenne arithmétique}$ additionne des taux et casse l’égalité quand on cumule.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
2016	Valeur de référence pour les indices base 100 (g0) et exemple de série (voitures hybrides, essence, gazole)
2017	Deuxième date d’observation dans les exemples (indices base 100 en 2016 et indices chaînés)
2018	Troisième date d’observation dans les exemples (taux de variation, coefficients multiplicateurs, indices base 100 en 2016)

📊 Tableaux de synthèse

Taux de variation vs coefficient multiplicateur (lien)

Situation	Taux de variation	Coefficient multiplicateur
Hausse de 5%	+5%	1,05
Baisse de 10%	-10%	0,9
Baisse de 4%	-4%	0,96
Baisse de 27%	-27%	0,73

Indices base 100 : lecture du taux entre t et 0

Indice	Relation	Taux de variation
I1/0	I1/0 = 100 + (τ1/0 × 100)	τ1/0 = (I1/0 − 100)/100
I1/0	I1/0 = (g1/g0) × 100	τ1/0 se déduit via I1/0

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre écart absolu et taux : l’écart vaut g1−g0 alors que le taux vaut (g1−g0)/g0 (et en % on multiplie par 100).
2. Oublier la conversion % → “pour 1” : avec 82,76% il faut utiliser 0,8276 dans g1=g0(1+τ).
3. Croire que les taux s’additionnent : deux variations successives se combinent via multiplication des coefficients multiplicateurs, pas par addition des taux.
4. Lire directement le coefficient multiplicateur entre 2017 et 2018 à partir des indices base 100 en 2016 : il faut utiliser le rapport des indices (composition).
5. Mélanger indices base 100 et indices chaînés : en chaîné la base change à chaque période (t compare à t−1), donc la lecture “par rapport à 0” n’est pas directe.
6. Penser que le taux de variation moyen est une moyenne arithmétique des taux : la bonne notion utilise la moyenne géométrique via (CMn/0)^(1/n).
7. Se tromper sur l’exposant 1/n : avec n+1 dates il y a n périodes, donc l’exposant est 1/n (pas 1/(n+1)).

✅ Checklist Examen

1. Définir une série temporelle et interpréter la notation gt comme valeur observée à la date t.
2. Expliquer pourquoi un taux “a%” correspond à une proportion a pour 100 unités, et donner l’interprétation avec 100 personnes actives.
3. Calculer un écart absolu entre deux dates comme g1−g0 et interpréter le signe (baisse si négatif).
4. Calculer un taux de variation “par rapport à l’unité” τ1/0=(g1−g0)/g0 puis en pourcentage τ1/0×100.
5. Transformer un taux en % en calcul : passer de τ% à τ “pour 1” en divisant par 100, puis utiliser g1=g0(1+τ).
6. Passer du taux au coefficient multiplicateur : CM1/0=1+τ1/0 (si τ est “pour 1”) et CM1/0=1+τ/100 (si τ est en %).
7. Utiliser la composition des coefficients multiplicateurs sur plusieurs dates : CM2/0=CM2/1×CM1/0 et vérifier que les taux ne s’additionnent pas.
8. Construire un indice base 100 à la date t : It/0=(gt/g0)×100, puis lire le taux via I=100+τ×100.
9. Calculer un taux entre deux dates quelconques à partir d’indices base 100 : utiliser le rapport I2/0 ÷ I1/0 pour obtenir CM2/1 et en déduire le taux.
10. Convertir entre indices base 100 (année 0) et indices chaînés : appliquer les produits successifs et rappeler que l’année 1 reste identique lors de la conversion.
11. Définir le taux de variation moyen τm entre 0 et n : τm=(gn/g0)^(1/n)−1=(CMn/0)^(1/n)−1, en précisant que n est le nombre de périodes.
12. Justifier pourquoi la moyenne arithmétique des taux ne convient pas et calculer τm via le coefficient multiplicateur global (moyenne géométrique).