Lernzettel: Introduction aux Fonctions et Optimisation Économique

📋 Plan du Cours

1. Étude des fonctions
2. Maximisation sous contrainte
3. Équations du second degré et intégrales
4. Économie publique normative
5. Choix du consommateur et TMS
6. Effet prix et décomposition
7. Variations de la demande
8. Bien-être social et redistribution
9. Théorèmes du bien-être
10. Surplus, information et décentralisation

📖 1. Étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante lorsque sa dérivée première est positive ou nulle sur l’intervalle étudié.
• Fonction convexe : Une fonction est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive ou nulle sur l’intervalle étudié.
• Extremum : Un extremum est un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum, détecté via la dérivée et la courbure locale.
• Multiplicateur de Lagrange : Le multiplicateur de Lagrange est un paramètre ajouté pour transformer une maximisation avec contrainte en conditions d’optimalité.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)\ge 0$ alors $f$ est croissante, et si $f'(x)\le 0$ alors $f$ est décroissante sur l’intervalle considéré.
• Si $f''(x)\ge 0$ alors $f$ est convexe, et si $f''(x)\le 0$ alors $f$ est concave.
• Pour identifier un extremum, on cherche les zéros de $f'$, puis on classe avec $f''$: maximum si $f''(x)<0$ et minimum si $f''(x)>0$.
• Pour $\max U(x)$ sous contrainte $\sum_i p_i x_i=R$, la condition d’optimalité donne $\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}=\frac{p_1}{p_2}$, donc le TMS égale le rapport des prix en tangence.
• Pour une contrainte $g(x_1,\dots,x_n)=0$, on définit le lagrangien $L=f(x_1,\dots,x_n)+\lambda g(x_1,\dots,x_n)$ et on impose les conditions du premier ordre via $\partial L/\partial x_i=0$ et $\partial L/\partial\lambda=0$.
• Pour $ax^2+bx+c=0$, le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ donne deux solutions si $\Delta>0$, une solution double si $\Delta=0$, et aucune solution réelle si $\Delta<0$.

💡 Astuce mémo

Dérivée 1 = sens (croît/décroît) ; dérivée 2 = forme (convexe/concave) ; dérivée nulle = candidat ; $f''$ tranche le max/min.

📖 2. Maximisation sous contrainte

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux marginal de substitution : Le TMS mesure le compromis optimal entre deux biens quand on veut garder l’utilité constante malgré une variation d’une unité de l’un des biens.
• Lagrangien : Le lagrangien combine la fonction à maximiser et la contrainte, pour faire apparaître un multiplicateur qui rend le problème tractable.

📝 Points essentiels

• Avec 2 biens, le choix optimal est au point de tangence entre la courbe d’indifférence et la droite de budget, ce qui impose l’égalité TMS = p1/p2 à l’optimum.
• Mathématiquement, pour une utilité $U(x_1,x_2)$, le TMS s’écrit TMS=\left|\dfrac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}\right| (en valeur absolue) et il se compare au rapport des prix.
• La méthode par substitution (2 biens) consiste à utiliser la contrainte budgétaire pour exprimer $x_1$ en fonction de $x_2$, puis à maximiser $U$ comme fonction d’une seule variable.
• Pour $n$ biens, avec une contrainte g(x_1,...,x_n)=0, on définit $L(x_1,...,x_n,\lambda)=f(x_1,...,x_n)+\lambda g(x_1,...,x_n)$ puis on résout $\partial L/\partial x_i=0$ pour tout $i$ et $\partial L/\partial \lambda=0$.
• Dans le programme du consommateur $\max U(x_1,...,x_n)$ sous $\sum_i p_i x_i=R$, le lagrangien s’écrit $L=U(x_1,...,x_n)+\lambda\left(R-\sum_i p_i x_i\right)$ et les conditions donnent $\partial U/\partial x_i=\lambda p_i$ pour chaque bien i.

💡 Astuce mémo

Tangence = compromis optimal : à l’optimum, courbe d’indifférence et budget ont la même pente donc $TMS=\dfrac{p_1}{p_2}$.

📖 3. Équations du second degré et intégrales

📖 4. Économie publique normative

🔑 Notions clés & Définitions

• Justice sociale : La justice sociale désigne l’ensemble des critères qui évaluent la répartition des ressources et des résultats d’une économie au regard de valeurs d’équité.
• Fonction de bien-être social : La fonction de bien-être social agrège les utilités individuelles pour produire un indicateur unique qui sert à comparer des répartitions.
• Frontière des utilités possibles : La frontière des utilités possibles regroupe les couples $(Y_1,Y_2)$ atteignables avec les contraintes de redistribution, et sert à trouver la meilleure répartition atteignable.
• Fleury Baye–Leroux : La référence F. Fleurbaey (2006) est un texte associé à la discussion sur l’économie normative et la justice sociale.

📝 Points essentiels

• Avec $U_i=Y_i^{\beta}$ et $W=(U_1^{\alpha}+U_2^{\alpha})^{1/\alpha}$, on obtient $W^{\alpha}=Y_1^{\alpha\beta}+Y_2^{\alpha\beta}$ pour exprimer le bien-être social en fonction de $Y_1$ et $Y_2$.
• La pente d’une courbe d’indifférence sociale (sur laquelle $W$ est constant) vérifie $\frac{dY_2}{dY_1}=-\frac{Y_1^{\alpha\beta-1}}{Y_2^{\alpha\beta-1}}$.
• Si la redistribution est sans coût et impose $Y_1+Y_2=\bar Y$, la meilleure répartition atteignable est l’égalité des revenus, même si le point initial change tant que $Y_1+Y_2=\bar Y$.
• Dans ce cadre, maximiser le bien-être social avec la contrainte de somme fixe revient à choisir un couple $(Y_1,Y_2)$ sur la frontière des utilités possibles qui est le plus favorable selon $W$.
• L’absence de coût permet d’atteindre tout couple $(Y_1,Y_2)$ satisfaisant la contrainte de ressources, ce qui rend la solution dépendante uniquement de la contrainte globale $Y_1+Y_2=\bar Y$.
• La redistribution avec coût n’est pas détaillée dans l’extrait fourni, donc aucune règle supplémentaire n’y est extractible ici.

💡 Astuce mémo

Somme fixe $Y_1+Y_2=\bar Y$ ⇒ optimum de $W$ à l’égalité $Y_1=Y_2$.

📖 5. Choix du consommateur et TMS

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet de substitution : L’effet de substitution correspond à la variation de la demande quand les prix relatifs changent, en compensant pour conserver le pouvoir d’achat ou l’utilité selon la méthode.
• Effet de revenu : L’effet de revenu est la variation de la demande due au changement de pouvoir d’achat réel après une modification de prix, à prix relatifs inchangés.
• Méthode de Slutsky : La décomposition de Slutsky isole l’effet substitution en gardant le pouvoir d’achat constant, puis attribue le reste à l’effet revenu.

📝 Points essentiels

• À l’optimum du consommateur, le TMS du bien T pour le bien M vérifie l’égalité avec le rapport des prix : TMS = pT/pM.
• Pour U(T,M)=T^{1/3}M^{2/3} et R=2000 avec pT=40 et pM=20, la condition d’optimalité donne M=4T puis T=50/3 et M=200/3.
• Quand pT passe de 40 à 80 (pM reste 20), la condition donne M=8T puis T=25/3 et M=200/3.
• Une hausse du prix d’un bien (ici p2) génère deux effets : l’effet substitution pousse vers plus de l’autre bien relativement moins cher, tandis que l’effet revenu réduit le pouvoir d’achat et peut amplifier ou contrebalancer.

💡 Astuce mémo

Slutsky : pouvoir d’achat constant ; Hicks : utilité constante (revenu compensateur).

📖 6. Effet prix et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité des préférences : La convexité des préférences signifie que le consommateur préfère les paniers mélangés aux paniers extrêmes.
• TMS décroissant : Le taux marginal de substitution diminue le long d’une même courbe d’indifférence quand on augmente le bien 1 et qu’on réduit le bien 2.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction deux fois dérivable, la convexité sur I équivaut à f’’(x)>0 pour tout x de I.
• Une fonction convexe a une pente de tangente croissante sur I, ce qui équivaut aussi à la courbe restant au-dessus de toute tangente en un point de I.
• Une fonction convexe n’admet qu’un seul minimum, qui est donc un minimum global (contrepartie : une fonction concave donne un maximum).
• L’hypothèse de convexité des préférences implique une baisse du TMS quand on se déplace sur une courbe d’indifférence, donc une disposition à renoncer à des quantités de plus en plus faibles du bien 2 pour obtenir plus de bien 1.
• Le cas de la drogue est un contre-exemple : on modélise parfois des préférences concaves si des paniers plus extrêmes sont préférés (rien de drogue ou beaucoup plutôt que des quantités intermédiaires).

💡 Astuce mémo

Convexe = f''>0 = pente des tangentes qui monte ; Concave = pente qui descend.

📖 7. Variations de la demande

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramètre de transfert k : Le paramètre $k$ mesure l’efficacité de la redistribution : retirer 1$à une personne permet d’en donner$k$à l’autre avec$0<k<1$.
• Règle d’optimalité de redistribution : La règle d’optimalité choisit combien redistribuer entre deux personnes selon la position sur la frontière (Y1,Y2) et l’efficacité $k$ du transfert.

📝 Points essentiels

• Quand $0<k<1$, une redistribution peut être coûteuse en utilité relative à cause de la transformation 1$→$k$ en faveur de l’autre personne.
• Si $k\le 1/2$, la politique optimale de redistribution est de ne rien faire.
• Si $k>1/2$, la politique optimale consiste à redistribuer les revenus de la personne 1 vers la personne 2 jusqu’à ce que $Y_2=kY_1$.
• Si $k<1/2$, la politique optimale consiste à redistribuer les revenus de la personne 2 vers la personne 1 jusqu’à ce que $Y_1=kY_2$.

💡 Astuce mémo

Taux de conversion $k$ : si $k$ est trop faible (≤ 1/2) aucun transfert optimal, sinon transfert jusqu’à l’égalité $Y_2=kY_1$ (ou l’inverse $Y_1=kY_2$).

📖 8. Bien-être social et redistribution

🔑 Notions clés & Définitions

• Taxation des biens : La taxation des biens modifie le prix relatif des biens et donc les choix de consommation du consommateur.
• Taxation du revenu : La taxation du revenu réduit directement le budget disponible du consommateur sans changer les prix relatifs des biens.
• Taxation de second rang : Une taxe de second rang correspond à un impôt dont l’efficacité passe par les effets de distorsion (au-delà de la simple collecte de recettes).
• Équivalence recette redistribution : Une même recette publique peut être obtenue par des instruments différents, avec des effets distincts sur les comportements et donc sur le bien-être.

📝 Points essentiels

• Avec une taxation des biens pour financer T=1, la meilleure redistribution entre biens s’obtient en appliquant la règle d’élasticité inverse pour égaliser la manière dont chaque bien est distordu par l’impôt.
• Les taux d’imposition des deux biens doivent être ajustés de sorte que les distorsions soient proportionnées aux élasticités de demande, ce qui implique une taxation de la même manière des deux biens (résultat d’optimalité).
• Quand le gouvernement taxe le revenu pour atteindre T=1, la maximisation du consommateur se fait avec un budget réduit, ce qui modifie sa demande des deux biens et son offre de travail.
• Le résultat de comparaison montre que la taxation des biens fonctionne comme une taxation de second rang, c’est-à-dire qu’elle entraîne des distorsions qui comptent pour le bien-être au-delà de la seule contrainte budgétaire T=1.

📖 9. Théorèmes du bien-être

🔑 Notions clés & Définitions

• Optimum social : L’optimum social est le niveau de politiques/quantités qui maximise le bien-être collectif total plutôt que le bénéfice d’un seul agent.
• Équilibre de Lindahl : L’équilibre de Lindahl est un équilibre où chaque consommateur fait face à un prix implicite (taxe) qui reflète sa contribution au bien collectif.
• Surplus collectif : Le surplus collectif est la différence entre l’avantage total retiré et le coût de fourniture, exprimée à l’échelle de la communauté.
• Bien collectif : Un bien collectif est un bien dont la consommation par un agent rend la même quantité disponible aux autres, ce qui crée des enjeux de coordination.

📝 Points essentiels

• Un équilibre de Lindahl avec prix personnalisés doit conduire à un optimum de Pareto pour le financement d’un bien collectif.
• Une situation de free riding correspond à des contributions privées insuffisantes car chacun sous-produit par rapport à ce qui maximiserait le bien-être social total.
• Quand la quantité de bien collectif dépend des contributions individuelles (comme x=t1+t2), toute déviation d’un agent modifie l’allocation et donc l’efficacité Pareto du résultat.

💡 Astuce mémo

Lindahl distribue les prix : chacun paie sa part implicite → résultat : optimum de Pareto.

📖 10. Surplus, information et décentralisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Optima de Pareto : Un optimum de Pareto est une allocation pour laquelle on ne peut pas améliorer le bien-être d’au moins un agent sans dégrader celui d’au moins un autre.
• Ensemble des optima de Pareto : L’ensemble des optima de Pareto regroupe toutes les allocations efficaces au sens où aucune amélioration mutuelle n’est possible sans détérioration d’un autre agent.
• Souscription pour un bien collectif : La souscription est un mécanisme où chaque individu choisit librement sa contribution ti et où la quantité de bien public produite dépend de la somme t1+t2.

📝 Points essentiels

• Si les contributions au bien public sont identiques (t1=t2), l’optimum de Pareto associé correspondante est déterminé dans le problème (point d’efficacité lié à l’égalité des prélèvements).
• L’équilibre de Lindahl, construit avec des prix personnalisés, est montré comme un optimum de Pareto.

💡 Astuce mémo

Lindahl = Prix sur mesure → efficacité Pareto (pas de gains possibles sans pertes).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Slutsky vs Hicks (décomposition prix)

Taxation : biens vs revenu (second rang)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre dérivée 1 et dérivée 2 : f’(x) donne croissant/décroissant, f’’(x) donne convexe/concave.
2. Chercher un extremum sans prendre la dérivée seconde : zeros de f’ = candidats, classification via f’’.
3. Prendre le TMS comme un rapport de prix “sans pente” : à l’optimum, TMS (pente en valeur absolue) égale p1/p2.
4. Mélanger “mouvement le long” et “déplacement” : un changement de prix bouge sur la courbe de demande, pas les facteurs exogènes.
5. Oublier la différence revenu vs substitution quand un prix change : substitution pousse vers le bien relativement moins cher, revenu change le pouvoir d’achat.
6. Croire que convexité implique automatiquement un unique extremum en général sans nuance : une fonction convexe n’admet qu’un seul minimum (global).
7. Confondre redistribution sans coût (k implicite) et coût de transfert : la règle dépend de k (≤1/2 : rien faire).

✅ Checklist Examen

1. Savoir interpréter le signe de f’(x) et f’’(x) pour conclure croissante/décroissante et convexe/concave.
2. Savoir trouver les extremums en repérant les zéros de f’ puis en classant max/min avec le signe de f’’.
3. Savoir déterminer l’optimum d’un consommateur : tangence ⇒ TMS = rapport des prix, et/ou conditions du lagrangien.
4. Savoir résoudre un programme de maximisation à 2 biens par substitution à l’aide de la contrainte budgétaire.
5. Être capable d’écrire et utiliser les conditions du 1er ordre du multiplicateur de Lagrange pour n biens (∂L/∂x_i=0 et ∂L/∂λ=0).
6. Savoir relier discriminant Δ=b^2-4ac et nombre de solutions réelles (Δ>0, Δ=0, Δ<0).
7. Savoir appliquer la définition d’intégrale pour aire avec primitives (∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)) et le lien F’(x)=f(x).
8. Pouvoir résumer la démarche néo-classique normative : situation sans État, 1er théorème, défaillances de marché, correction par l’État via contrainte de correction.
9. Savoir définir/identifier la convexité des préférences (pente/tangentes et TMS décroissant) et donner le contre-exemple “drogue”.
10. Savoir décrire la décomposition effet substitution/effet revenu et distinguer Slutsky (pouvoir d’achat constant) de Hicks (utilité constante).
11. Savoir appliquer les règles de redistribution avec coût de transfert k : si k≤1/2 rien à faire, si k>1/2 transfert jusqu’à Y2=kY1 (ou l’inverse).
12. Savoir expliquer l’articulation efficacité/équité via Pareto-optimalité et Lindahl (prix personnalisés ⇒ optimum de Pareto) et le rôle du passager clandestin/free riding.