Lernzettel: Maîtrise des pourcentages et proportions

📋 Plan du Cours

1. Proportion et pourcentage
2. Effectif, proportion et pourcentage
3. Pourcentage de pourcentage
4. Population active et pourcentage global
5. Fréquences marginale et conditionnelle

📖 1. Proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Une proportion mesure la part d’une sous-population dans une population de référence, sous forme de nombre entre 0 et 1.
• Pourcentage : Un pourcentage exprime une proportion en utilisant la base 100, pour obtenir une valeur entre 0 et 100.

📝 Points essentiels

• La proportion de STMG parmi les élèves de 1ère vaut $p=108/480=0,225$ puis $22,5\%$.
• Pour transformer une proportion en pourcentage, on multiplie par $100$ (par exemple $0,225\%\to 22,5\%$).
• Pourcentage d’un nombre : $\text{pourcentage}\times\text{nombre}=\text{effectif}$ (exemple : $15\%\times 480=72$).

📖 2. Effectif, proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : L’effectif est le nombre d’éléments d’une population ou d’une sous-population.
• Population de référence : La population de référence est l’ensemble de départ dont on calcule la proportion d’une sous-population.
• Sous-population : Une sous-population est une partie de la population de référence utilisée pour calculer une proportion.

📝 Points essentiels

• Si une société a 75 employés et 12% de cadres, alors l’effectif des cadres vaut $0,12\times 75=9$.
• La proportion de femmes se calcule avec l’effectif des femmes : $p=\text{femmes}/\text{total}$ (ici $35/75\approx 0,47$).
• Le pourcentage de cadres parmi les femmes utilise la population de référence « femmes » : $5/35\approx 0,14=14\%$.
• On compare deux proportions en pourcentage : ici $14\%>12\%$, donc les femmes cadres sont surreprésentées.

📖 3. Pourcentage de pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage de pourcentage : Un pourcentage de pourcentage est un résultat obtenu en appliquant successivement deux proportions, l’une conditionnant l’autre.
• Propriété de composition : La proportion d’une catégorie finale s’obtient en multipliant les proportions emboîtées correspondant à chaque inclusion.

📝 Points essentiels

• Dans un bus : 40% sont des scolaires et, parmi eux, 60% sont des filles, donc $0,4\times 0,6=0,24=24\%$.
• Pour calculer un pourcentage de pourcentage, on multiplie directement les deux pourcentages exprimés en fractions (exemple : $60\%\times 40\%$).
• La règle d’inclusion emboîtée : si $A\subset B$ et $B\subset C$, alors la proportion de $A$ dans $C$ vaut le produit des proportions correspondantes.

📖 4. Population active et pourcentage global

🔑 Notions clés & Définitions

• Population active : La population active représente une partie de la population en âge de travailler, donnée en pourcentage dans l’énoncé.
• Pourcentage global : Un pourcentage global est une proportion calculée par rapport à une population totale, obtenue en combinant des pourcentages successifs.

📝 Points essentiels

• Part de la population active dans la population totale : $70\%\times 66\%=0,7\times 0,66=0,462=46,2\%$.
• Le nombre d’actifs se déduit du pourcentage global : $0,462\times 67\approx 30,954$, soit environ $31$ millions d’actifs.
• Le calcul combine d’abord le passage « âge de travailler » puis « actifs parmi cet ensemble » pour revenir à la population totale.

📖 5. Fréquences marginale et conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence marginale : Une fréquence marginale donne la proportion d’une catégorie en utilisant la ligne ou la colonne située sur le bord du tableau.
• Fréquence conditionnelle : Une fréquence conditionnelle donne une proportion à l’intérieur d’un sous-ensemble défini par une condition (restriction du total).

📝 Points essentiels

• Dans le tableau (360 employés), la fréquence marginale de cadres vaut $45/360=0,125=12,5\%$.
• La fréquence conditionnelle « ouvriers, techniciens parmi les hommes » vaut $189/216=0,875=87,5\%$.
• La condition sert à choisir le bon dénominateur : ici on restreint au total des hommes (216) pour calculer une proportion parmi les hommes.
• Le tableau permet d’enchaîner des pourcentages pour trouver les effectifs manquants, puis de relire les fréquences en pourcentage.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la population de référence : une proportion « parmi les femmes » n’utilise pas le total des employés, mais le total des femmes.
2. Multiplier des pourcentages sans les convertir en fractions : pourcentage de pourcentage se calcule comme $0,4\times 0,6$ puis conversion éventuelle en pourcentage.
3. Mélanger fréquence marginale et conditionnelle : la marginale utilise le total de la ligne/colonne bord, la conditionnelle utilise un total restreint.
4. Lire un pourcentage conditionnel avec le mauvais dénominateur : par exemple utiliser 360 au lieu de 216 dans l’exemple des hommes.
5. Croire que la proportion « globale » s’obtient en additionnant les pourcentages au lieu de multiplier les proportions successives.
6. Oublier que les effectifs peuvent être obtenus directement par $\text{pourcentage}\times\text{total}$ pour compléter un tableau.

✅ Checklist Examen

1. Calculer une proportion $p=\text{effectif}/\text{total}$ à partir des effectifs donnés.
2. Convertir une proportion en pourcentage via multiplication par 100.
3. Passer d’un pourcentage d’un nombre à un effectif en calculant $\text{pourcentage}\times\text{nombre}$.
4. Distinguer clairement population de référence, sous-population et effectif correspondant.
5. Calculer un effectif à partir d’un pourcentage (ex : effectif des cadres).
6. Calculer une proportion et l’exprimer en pourcentage (ex : proportion de femmes).
7. Calculer un pourcentage de cadres parmi une catégorie (ex : parmi les femmes) en changeant le dénominateur.
8. Calculer un pourcentage de pourcentage en multipliant les proportions successives (ex : 60% de 40%).
9. Utiliser la règle d’inclusion emboîtée $A\subset B$ et $B\subset C$ pour obtenir une proportion finale.
10. Calculer un pourcentage global à partir de deux pourcentages successifs (ex : 70% × 66%).
11. Transformer un pourcentage global en nombre d’individus en multipliant par la population totale.
12. Remplir/compléter un tableau de fréquences avec des pourcentages et des effectifs manquants.
13. Lire une fréquence marginale à partir du bord du tableau et donner le résultat en pourcentage.
14. Lire une fréquence conditionnelle à partir d’une ligne/colonne intérieure avec le bon total restreint.