Lernzettel: Introduction aux tests statistiques et lois de base

📋 Plan du Cours

1. Distributions usuelles et lois de base
2. Intervalles de confiance et quantiles
3. Tests statistiques : cadre et types de problèmes
4. Test du rapport de vraisemblance et Neyman-Pearson
5. Propriétés de la p-valeur sous l’hypothèse nulle
6. Lois gaussiennes et TCL pour les tests
7. Tests sur la moyenne avec variance connue
8. Tests sur la variance et moyenne inconnues
9. Tests du chi-deux et adéquation à une loi
10. Test de Kolmogorov-Smirnov et QQ-plots
11. Tests en dimension : séparation minimax en norme infinie
12. Borne inférieure minimax et optimalité du test

📖 1. Distributions usuelles et lois de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n essais indépendants identiquement distribués, avec probabilité de succès p à chaque essai.
• Géométrique : La loi géométrique modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès, avec probabilité de succès p à chaque essai.
• Exponentielle : La loi exponentielle modélise une durée d’attente jusqu’à un événement, avec taux constant λ.
• Poisson : La loi de Poisson modélise le nombre d’événements sur un intervalle de temps (ou d’espace) lorsque ces événements arrivent à un taux constant.
• Gamma : La loi Gamma modélise une somme de durées exponentielles indépendantes, et généralise l’attente jusqu’au k-ième événement.

📝 Points essentiels

• Bin(n,p) compte le nombre de succès sur n essais et a pour moyenne np et variance np(1−p).
• G(p) compte le nombre d’essais jusqu’au premier succès et a pour moyenne 1/p et variance (1−p)/p^2.
• L’exponentielle E(λ) a pour moyenne 1/λ et variance 1/λ^2 et vérifie la propriété sans mémoire.
• Pour Poisson de taux λ, le nombre d’événements a pour moyenne λ et variance λ.
• Si X et Y sont indépendantes avec X∼E(λ) et Y∼Γ(k,λ) (k∈N*), alors X+Y∼Γ(k+1,λ).
• Pour Γ(k,λ) avec k∈N*, la densité n’est pas à apprendre : seule la structure “somme d’exponentielles” et les moments utiles comptent.

💡 Astuce mémo

Binomiale = “n essais, k succès”; Géométrique = “jusqu’au 1er succès”; Exponentielle = “attente sans mémoire”; Poisson = “compte les arrivées”; Gamma = “somme d’exponentielles (k-ième arrivée)”.

📖 2. Intervalles de confiance et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Un quantile est une valeur qui découpe la distribution en une proportion donnée de probabilité, par exemple $q_{1-\alpha}$ vérifie $P(X\le q_{1-\alpha})=1-\alpha$.
• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance est une plage de valeurs pour un paramètre inconnu construite à partir d’un échantillon, avec une probabilité de couverture fixée (niveau $1-\alpha$).
• Approximation gaussienne : L’approximation gaussienne remplace une loi discrète ou compliquée par une loi normale quand l’effectif est suffisamment grand, pour obtenir des probabilités et des intervalles.
• Statistique pivot : Une statistique pivot est une combinaison des données et du paramètre dont la loi ne dépend pas du paramètre, ce qui permet de construire des intervalles via les quantiles.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition $F_X(x)=P(X\le x)$ permet de calculer des probabilités et des p-valeurs à partir de quantiles.

📝 Points essentiels

• Pour un niveau $1-\alpha$, un intervalle de confiance s’écrit typiquement $[\text{borne inf},\text{borne sup}]$ où les bornes sont obtenues en égalant des probabilités à $\alpha/2$ et $1-\alpha/2$ via des quantiles.
• Quand on utilise un pivot $T$, on cherche des valeurs $t_-$ et $t_+$ telles que $P(t_-\le T\le t_+)=1-\alpha$, puis on résout l’inégalité pour le paramètre inconnu.
• Dans les exercices, l’approximation gaussienne sert à décider si une valeur observée tombe dans un intervalle construit à partir de quantiles de la loi normale.
• Pour une loi normale, les bornes d’un intervalle centré s’obtiennent souvent avec la forme $\mu\pm z_{1-\alpha/2}\,\sigma$, où $z_{1-\alpha/2}$ est un quantile de la normale standard.
• La fonction de répartition est l’outil direct pour calculer des probabilités du type $P(X\le t)$, donc pour obtenir p-valeurs et probabilités d’inclusion dans les intervalles.
• Dans les tests d’adéquation/KS/chi-deux mentionnés dans la section, les p-valeurs et décisions reposent sur des probabilités calculées à partir de la fonction de répartition de la loi de la statistique de test.

💡 Astuce mémo

Quantiles = “portes” de probabilité : $q_{1-\alpha}$ laisse passer $1-\alpha$ à gauche, et l’intervalle $1-\alpha$ met $\alpha/2$ à chaque extrémité.

📖 3. Tests statistiques : cadre et types de problèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèses H0 et H1 : Un cadre de test compare une hypothèse nulle à une alternative pour décider si les données apportent une preuve statistique au niveau choisi.
• Statistique de test : Une fonction des données qui résume l’information pertinente et dont la loi sous H0 sert à calibrer la décision.
• p-valeur : Une probabilité, calculée sous H0, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée.
• Niveau de signification α : Un seuil fixé à l’avance qui contrôle le risque de rejeter H0 à tort, via la règle de décision basée sur la p-valeur ou un quantile.
• Tests de normalité : Des tests qui vérifient si une variable peut être modélisée comme une réalisation gaussienne, en s’appuyant sur une statistique et des degrés de liberté.

📝 Points essentiels

• Corrélations de Pearson servent à mesurer l’association linéaire entre deux séries, avec des calculs séparés en période bull et en période bear.
• Autocorrélation du spread teste la dépendance temporelle du différentiel $S_t=R^{BTC}_t-R^{ETH}_t$ entre $t$ et $t+1$ (ou un lag donné).
• Les tests de normalité supposent des rendements gaussiens i.i.d. dans chaque période et des échantillons indépendants entre périodes.
• Pour chaque question, la démarche attendue est : définir précisément les hypothèses avec notations, choisir le test adapté, calculer statistique et p-valeur, puis conclure au niveau α.
• Le test de Student compare une moyenne à une valeur (ou entre deux périodes) sous hypothèses de normalité et d’indépendance.
• Le test binomial compare une proportion observée à une proportion théorique, avec une alternative unilatérale ou bilatérale selon la question (ex. proportion de rendements strictement positifs).

💡 Astuce mémo

p-valeur = probabilité sous H0 d’un résultat aussi “extrême” que l’observé ; α coupe la queue.

📖 4. Test du rapport de vraisemblance et Neyman-Pearson

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique de test : Une statistique de test est une fonction des données qui résume l’information utile pour décider entre $H_0$ et $H_1$.
• Règle de décision : Une règle de décision spécifie, à partir de la statistique de test, quand rejeter $H_0$ ou ne pas la rejeter.
• p-valeur bilatérale : La p-valeur bilatérale est la probabilité, sous $H_0$, d’obtenir une valeur de la statistique au moins aussi extrême que l’observée dans les deux sens.
• Théorème de Neyman-Pearson : Le théorème de Neyman-Pearson caractérise le test le plus puissant pour $H_0$ contre $H_1$ simples via le rapport de vraisemblance.
• Rapport de vraisemblance : Le rapport de vraisemblance compare les vraisemblances sous $H_1$ et sous $H_0$ et sert à construire le test optimal.

📝 Points essentiels

• Pour un test, on fixe un niveau de signification $\alpha$ et on choisit une règle de décision contrôlant $P(\text{rejeter }H_0\mid H_0)=\alpha$.
• Pour une p-valeur bilatérale, on agrège sous $H_0$ les réalisations de la statistique aussi extrêmes que l’observée, en tenant compte des deux côtés de la distribution.
• Dans le cadre Neyman-Pearson, on considère en général $H_0$ et $H_1$ simples (paramètres entièrement spécifiés).
• Le test Neyman-Pearson le plus puissant rejette $H_0$ quand le rapport de vraisemblance est suffisamment grand (ou petit selon la convention).
• Le rapport de vraisemblance est construit à partir des densités/pmf : $\Lambda(x)=\frac{f_{H_1}(x)}{f_{H_0}(x)}$ (ou l’inverse), puis on compare $\Lambda(x)$ à un seuil.
• Le seuil est choisi pour que la probabilité de rejet sous $H_0$ soit égale à $\alpha$ (éventuellement avec randomisation si nécessaire).

💡 Astuce mémo

NP = Optimal par Ratio : Neyman-Pearson choisit le test qui rejette quand $\frac{L(H_1)}{L(H_0)}$ est le plus favorable à $H_1$.

📖 5. Propriétés de la p-valeur sous l’hypothèse nulle

🔑 Notions clés & Définitions

• p-valeur : La p-valeur est la probabilité, sous l’hypothèse nulle, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que l’observation observée.
• Hypothèse nulle H0 : L’hypothèse nulle est le modèle de référence contre lequel on mesure l’évidence fournie par les données via la p-valeur.
• Test bilatéral : Un test bilatéral compare la statistique à la fois dans les deux directions possibles d’écart par rapport à H0.
• Statistique de test : La statistique de test est une fonction des données qui résume l’information utile pour décider sous H0.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition $F$ donne, pour une variable aléatoire, la probabilité d’être inférieure ou égale à un seuil.

📝 Points essentiels

• Sous H0, la p-valeur est calculée à partir de la loi de la statistique de test, donc elle dépend uniquement de la distribution sous H0.
• Pour un test bilatéral, la p-valeur se construit en additionnant les probabilités des deux côtés (valeurs aussi extrêmes dans chaque direction).
• Si la statistique de test est continue, la p-valeur est uniformément distribuée sur $[0,1]$ sous H0 (cas idéal sans égalités).
• Si la statistique est discrète, la p-valeur n’est pas parfaitement uniforme et peut prendre des valeurs en “marches” à cause des probabilités ponctuelles.
• La p-valeur peut s’exprimer via la fonction de répartition $F$ : elle correspond à une probabilité de queue, donc typiquement à $1-F( ext{seuil})$ ou à une combinaison de deux queues en bilatéral.
• La p-valeur sert de règle de décision : on rejette H0 quand $p\text{-valeur}\le \alpha$, ce qui relie directement le calcul probabiliste à un niveau de signification.

💡 Astuce mémo

Bilatéral = deux queues ; sous H0 = calcul avec la loi de la statistique ; décision = $p\le\alpha$.

📖 6. Lois gaussiennes et TCL pour les tests

🔑 Notions clés & Définitions

• p-valeur : La p-valeur est la probabilité, sous l’hypothèse nulle, d’obtenir un résultat aussi extrême (ou plus) que celui observé.
• Test bilatéral : Un test bilatéral rejette l’hypothèse nulle pour des valeurs de la statistique de test situées des deux côtés de la valeur observée.
• Théorème de Neyman-Pearson : Le théorème de Neyman-Pearson identifie, pour un niveau fixé, le test le plus puissant dans le cas simple contre simple.
• Rapport de vraisemblance : Le rapport de vraisemblance compare les densités sous H1 et sous H0 et sert à construire le test optimal.
• TCL : Le TCL (théorème central limite) justifie qu’une somme (ou moyenne) de variables i.i.d. tend vers une loi gaussienne quand l’effectif grandit.

📝 Points essentiels

• Pour un test bilatéral et une statistique ψ donnée, la p-valeur s’écrit comme le minimum entre les probabilités sous H0 d’observer une valeur au moins aussi extrême dans chaque sens.
• Le niveau d’un test est α = P(T(X)=1) sous H0, et la puissance est 1−β avec β = Q(T(X)=1) sous H1.
• Dans le cas simple VS simple, le test du rapport de vraisemblance de niveau α maximise la puissance parmi tous les tests de niveau α.
• La statistique du rapport de vraisemblance s’écrit ψ(x)=q(x)/p(x) (densités sous H1 et H0) et le test rejette quand ψ(x) dépasse un seuil tα.
• Le test équivalent en log-rapport rejette quand log(q(x)/p(x)) dépasse log(tα), ce qui revient au même classement des observations.
• Le TCL permet d’approximer la loi d’une somme/ moyenne de variables i.i.d. par une gaussienne, ce qui rend les p-valeurs et tests plus calculables quand n est grand.

💡 Astuce mémo

p-valeur bilatérale = min(« trop grand », « trop petit ») ; Neyman-Pearson = « trier par q/p » ; TCL = « somme i.i.d. → gaussienne ».

📖 7. Tests sur la moyenne avec variance connue

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Neyman-Pearson : Un test de Neyman-Pearson est un test de niveau α qui maximise la puissance contre une alternative simple, sous une contrainte de probabilité d’erreur de première espèce.
• Rapport de vraisemblance : Le rapport de vraisemblance compare les densités sous H1 et sous H0 et sert à construire un test optimal au sens de Neyman-Pearson.
• Log-rapport de vraisemblance : Le log-rapport de vraisemblance est la version logarithmée du rapport de vraisemblance, souvent plus simple à manipuler pour obtenir une région de rejet.
• Statistique de test seuil : Une statistique de test seuil est une règle du type 1{T(x)>t} (ou 1{T(x)<t}) qui rejette H0 quand la statistique dépasse un seuil calibré pour atteindre le niveau α.
• Familles exponentielles : Une famille exponentielle regroupe des lois dont la densité s’écrit avec une forme a(θ)b(x)exp(c(θ)d(x)), permettant des tests basés sur d(x) ou une somme de d(Xi).

📝 Points essentiels

• Pour un test de niveau α, la région optimale contre une alternative simple est obtenue en maximisant la puissance sous la contrainte P_{θ0}(rejeter)=α.
• Le test de Neyman-Pearson s’écrit avec le rapport de vraisemblance : rejeter H0 quand (q(x)/p(x)) dépasse un seuil tα.
• Comme le log est monotone, on peut remplacer le rapport par le log-rapport sans changer l’ordre des décisions.
• Dans le cas gaussien X∼N(θ,1) avec H0:θ=θ0 et H1:θ=θ1, le log-rapport est une fonction affine de x, donc le test optimal est un seuil sur x.
• Pour H0:θ=θ0 et H1:θ=θ1 avec variance connue, la statistique optimale est T(x)=1{x>t} si θ1>θ0 (et l’inégalité s’inverse sinon).
• Pour des observations iid gaussiennes X1,…,Xn∼N(θ,1), la statistique de test se réduit à un seuil sur la moyenne \bar X, car le log-rapport dépend de \bar X uniquement.

💡 Astuce mémo

Neyman-Pearson = « Rapport → Seuil » : compare q/p (ou log(q/p)), puis rejette quand ça dépasse tα.

📖 8. Tests sur la variance et moyenne inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Test t de Student : Le test t de Student est un test de moyenne quand la variance est inconnue, basé sur une statistique pivotale suivant une loi de Student sous l’hypothèse nulle.
• Loi de Student : La loi de Student $T(\nu)$ est la loi de la statistique t quand on remplace la variance vraie par sa variance empirique, avec $\nu=n-1$ degrés de liberté.
• Test de Fisher : Le test de Fisher compare deux variances via une statistique qui suit une loi de Fisher sous l’hypothèse nulle.
• Loi de Fisher : La loi de Fisher $F(k_1,k_2)$ est la loi du rapport de deux variables chi-deux indépendantes normalisées, utilisée pour tester des variances.

📝 Points essentiels

• Sous $H_0: \mu=\mu_0$ avec $\sigma$ inconnue, la statistique $T=\dfrac{\sqrt{n}(\bar X-\mu_0)}{\hat\sigma}$ suit $T(n-1)$ sous $H_0$.
• Pour un test unilatéral gauche au niveau $\alpha$, on rejette si $T<-t_{\alpha}$ où $t_{\alpha}=\text{quantile}(T(n-1),\alpha)$.
• La p-valeur d’un test unilatéral gauche s’obtient par $P(T(n-1)\le T_{obs})=\text{cdf}(T(n-1),T_{obs})$.
• Pour tester $H_0: \sigma\le \sigma_0$ contre $H_1: \sigma>\sigma_0$, on utilise une statistique de type chi-deux menant à un quantile de $\chi^2(n-1)$.
• Pour deux échantillons gaussiens indépendants, la statistique $F=\dfrac{\hat\sigma_1^2}{\hat\sigma_2^2}$ suit $F(n_1-1,n_2-1)$ sous $H_0: \sigma_1=\sigma_2$.
• Le test de Fisher unilatéral droit rejette quand $F>t$ avec $t=\text{quantile}(F(n_1-1,n_2-1),1-\alpha)$ et la p-valeur vaut $1-\text{cdf}(F(\cdot),F_{obs})$.

💡 Astuce mémo

t pour moyenne: variance inconnue → t(n−1); F pour variances: rapport de variances → F(n1−1,n2−1).

📖 9. Tests du chi-deux et adéquation à une loi

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du chi-deux d’adéquation : Test statistique qui compare des effectifs observés à des effectifs théoriques issus d’une loi candidate sous l’hypothèse nulle.
• Distribution multinomiale : Modèle de comptage où $n$ tirages tombent dans $m$ catégories avec probabilités $(p_1,\dots,p_m)$, donnant un vecteur d’effectifs $(X_1,\dots,X_m)$.
• Statistique du chi-deux : Mesure de l’écart entre effectifs observés et attendus, somme des carrés des différences normalisées par les attendus.
• Correction du chi-deux : Ajustement de la loi asymptotique du chi-deux quand les probabilités théoriques dépendent de paramètres estimés à partir des données.
• Histogramme en classes : Partition de l’espace en intervalles disjoints $(I_1,\dots,I_m)$ utilisée pour transformer des observations continues en effectifs par classe.

📝 Points essentiels

• Sous $H_0$, les effectifs par catégories suivent une loi multinomiale $\mathrm{Mult}(n,p)$, ce qui justifie la forme du chi-deux.
• Pour $m$ catégories, la statistique est $\psi=\sum_{i=1}^m\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ avec $E_i=n p_i$ et $O_i$ l’effectif observé.
• Quand les attendus sont grands (condition du cours : $n p_i\ge 15$), alors sous $H_0$ on a $\psi\approx (m-1)\chi^2$.
• On rejette $H_0$ pour les grandes valeurs de $\psi$ : $\psi>t_{1-\alpha}$ où $t_{1-\alpha}$ est le quantile de $(m-1)\chi^2$.
• Pour une adéquation à une loi continue, on choisit des classes $I_j$ et on compare $C_j$ (observé) à $n p_j$ (théorique) avec $p_j=P_0(I_j)$.
• Si la loi candidate dépend de $\ell$ paramètres estimés (MLE), la loi asymptotique devient $\psi\approx (m-1-\ell)\chi^2$ (perte de degrés de liberté).

💡 Astuce mémo

Multinomial = comptage; Chi-deux = somme des écarts au carré / attendus; Degrés de liberté = (catégories−1) puis −(paramètres estimés).

📖 10. Test de Kolmogorov-Smirnov et QQ-plots

🔑 Notions clés & Définitions

• QQ-plot : Le QQ-plot est un graphique qui compare les quantiles empiriques des données à ceux attendus sous une loi théorique.
• Quantile empirique d’ordre : Le quantile empirique d’ordre $k/n$ est la valeur $X_{(k)}$ des données triées associée à la position $k$.
• Quantile théorique : Le quantile théorique d’ordre $k/n$ est la valeur $x$ telle que $F_0(x)=k/n$ sous l’hypothèse $H_0$.
• Fonction de répartition empirique : La fonction de répartition empirique $\hat F_n(x)$ compte la proportion d’observations $\le x$.
• Statistique KS : La statistique de Kolmogorov-Smirnov mesure la distance maximale entre $\hat F_n$ et la fonction de répartition $F_0$.

📝 Points essentiels

• Sous $H_0:F=F_0$, un QQ-plot bien aligné sur la droite $y=x$ indique une bonne adéquation à la loi postulée.
• Pour le QQ-plot, on trace les points $(\text{quantiles théoriques},\text{quantiles empiriques})$ et on compare visuellement l’écart à la droite.
• La fonction de répartition empirique s’écrit $\hat F_n(x)=\frac1n\sum_{i=1}^n\mathbf 1\{X_i\le x\}$.
• La statistique KS est $\psi(X)=\sup_x\lvert \hat F_n(x)-F_0(x)\rvert$, c’est une distance maximale sur tout $x$.
• Sous $H_0$ (cas continu), la loi de $\sqrt n\,\psi(X)$ converge vers une loi de Kolmogorov, ce qui permet d’obtenir des p-valeurs.
• En pratique, on calcule la p-valeur avec un logiciel (ex. R, Python, Julia) plutôt que la formule asymptotique seule pour des tailles finies.

💡 Astuce mémo

QQ-plot = Quantiles alignés ; KS = KMax distance (écart maximal) entre $\hat F_n$ et $F_0$.

📖 11. Tests en dimension : séparation minimax en norme infinie

🔑 Notions clés & Définitions

• Séparation minimax : Notion de théorie de la décision où l’on cherche la plus petite amplitude de signal détectable par tout test, avec une probabilité d’erreur contrôlée.
• Norme infinie : Mesure de taille d’un signal basée sur le maximum des composantes, notée typiquement $\|\cdot\|_\infty$.
• Test de Fisher : Test basé sur un rapport de variances qui compare la variance expliquée par un facteur à la variance résiduelle.
• Statistique ANOVA : Statistique construite à partir de la somme des carrés inter-groupes et intra-groupes, dont la loi sous $H_0$ est une loi de Fisher.
• Rapport de corrélation $\eta^2$ : Mesure de la part de variance expliquée par un facteur, égale au rapport entre la variance inter-groupes et la variance totale.

📝 Points essentiels

• Sous $H_0$, le modèle s’écrit $Y_k=\mu+\varepsilon_k$ avec $\varepsilon_k\sim\text{iid }\mathcal N(0,\sigma^2)$, donc les moyennes de groupe ne diffèrent pas.
• La décomposition de la variance donne $S_{tot}=S_{inter}+S_{intra}$, où $S_{inter}$ mesure l’écart des moyennes de groupe à la moyenne globale.
• Le rapport $\eta^2=\dfrac{S_{inter}}{S_{tot}}$ appartient à $[0,1]$ et estime la proportion de variance expliquée par le facteur.
• Sous $H_0$, on a $\dfrac{S_{inter}}{\sigma^2}\sim\chi^2_{I-1}$ et $\dfrac{S_{intra}}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-I}$, avec indépendance.
• La statistique de Fisher $F=\dfrac{S_{inter}/(I-1)}{S_{intra}/(n-I)}$ suit $F\big(I-1,n-I\big)$ sous $H_0$.
• Le test de Fisher rejette $H_0$ au niveau $\alpha$ si $F>f_{1-\alpha}\big(I-1,n-I\big)$, où $f_{1-\alpha}$ est le quantile de la loi $F$.

💡 Astuce mémo

ANOVA = Inter sur Intra : $F=\dfrac{S_{inter}/(I-1)}{S_{intra}/(n-I)}$ et $\eta^2=\dfrac{S_{inter}}{S_{tot}}$.

📖 12. Borne inférieure minimax et optimalité du test

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque d’un test : Le risque d’un test mesure sa probabilité d’erreur dans le pire cas, séparément sous chaque hypothèse composite.
• Risque minimax : Le risque minimax est le risque du meilleur test, évalué contre le pire paramètre possible de l’adversaire.
• Test naturel : Le test naturel est le test seuil qui rejette pour des valeurs suffisamment grandes de la statistique observée.
• Borne inférieure minimax : La borne inférieure minimax donne la plus petite séparation détectable, car aucun test ne peut faire mieux que le risque minimax.
• Vitesse de séparation minimax : La vitesse de séparation minimax est l’ordre de grandeur minimal de |μ| nécessaire pour qu’un test fiable existe.

📝 Points essentiels

• Le risque d’un test combine deux termes : pire probabilité de rejeter à tort sous H0 et pire probabilité de ne pas rejeter sous H1.
• Le risque minimax s’écrit comme l’infimum sur tous les tests de la valeur maximale sur les paramètres des hypothèses.
• Dans le cas gaussien X∼N(θ,1), avec H0:θ=0 et H1:θ≥ρ, le risque minimax vaut exactement R*(ρ)=2(1−Φ(ρ/2)).
• Le test seuil T*(X)=1{X≥ρ/2} atteint ce risque minimax, donc il est optimal au sens minimax.
• La borne inférieure provient du fait que pour tout test, l’espérance sous les deux densités est contrôlée par l’aire sous leur minimum (recouvrement) à la frontière θ=ρ.
• Le recouvrement à la frontière θ=ρ se calcule par symétrie et donne exactement 2P(X≥ρ/2)=2(1−Φ(ρ/2)).

💡 Astuce mémo

Minimax = recouvrement : R*(ρ) = aire sous min(f0,fρ) = 2(1−Φ(ρ/2)); le seuil à ρ/2 est pile optimal.

📊 Tableaux de synthèse

Correspondances lois (structure et rôle)

Loi	Modèle	À retenir
Binomiale	Nombre de succès sur n essais	Moyenne np, variance np(1−p)
Géométrique	Nombre d’essais jusqu’au 1er succès	Moyenne 1/p, variance (1−p)/p^2
Exponentielle	Durée d’attente jusqu’à un événement	Sans mémoire, moyenne 1/λ, variance 1/λ^2
Poisson	Nombre d’événements sur un intervalle	Moyenne λ, variance λ
Gamma	Somme de k exponentielles	Généralise l’attente jusqu’au k-ième événement (densité non à apprendre)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la p-valeur bilatérale avec une simple doublement de la queue : le cours dit p-valeur bilatérale = agrégation des deux côtés “aussi extrêmes” (via min dans les formules).
2. Croire que la p-valeur est uniforme sous H0 même pour une statistique discrète : le cours précise que ce n’est pas parfaitement uniforme (valeurs en “marches”).
3. Mélanger les rôles des tests : chi-deux d’adéquation compare observé vs théorique, tandis que KS/QQ-plot comparent à une loi via quantiles et distance max.
4. Se tromper sur les degrés de liberté du chi-deux : on a (m−1) puis on retire ℓ paramètres estimés (m−1−ℓ), pas seulement (m−1).
5. Inverser les régions de rejet des tests unilatéraux : pour Student gauche on rejette si T<−tα, pour Fisher droit on rejette si F>t.
6. Penser que la densité de Gamma est à apprendre : le cours source indique explicitement que la densité n’est pas nécessaire à apprendre, seule la structure “somme d’exponentielles” et les moments utiles comptent.
7. Oublier que Neyman–Pearson concerne H0 et H1 simples et que le test optimal classe par le rapport de vraisemblance (q/p) ou log(q/p), pas par une p-valeur “au hasard”.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir Bin(n,p), G(p), E(λ), P(λ), Γ(k,λ) et donner leurs moyennes/variances telles qu’écrites dans la fiche.
2. Savoir utiliser la propriété sans mémoire de l’exponentielle et la structure “Gamma = somme d’exponentielles” pour justifier des lois composées.
3. Savoir interpréter un quantile q1−α et écrire P(X≤q1−α)=1−α.
4. Savoir construire un intervalle de confiance via quantiles (bornes obtenues en égalant des probabilités à α/2 et 1−α/2) et relier pivot et résolution pour le paramètre.
5. Savoir définir statistique pivot, fonction de répartition F(x)=P(X≤x) et calculer des p-valeurs/probabilités d’inclusion à partir de F.
6. Savoir définir H0/H1, statistique de test, niveau α, p-valeur (sous H0, “aussi extrême ou plus”) et conclure par règle p-valeur≤α.
7. Savoir énoncer Neyman–Pearson : test le plus puissant pour H0 contre H1 simples, basé sur le rapport de vraisemblance Λ(x)=fH1(x)/fH0(x) (ou inverse) et un seuil calibré pour obtenir P(rejeter|H0)=α.
8. Savoir exprimer la p-valeur bilatérale (agrégation des deux côtés “aussi extrêmes”, et formule via min dans le cours) et la décision p≤α.
9. Savoir utiliser les lois de test gaussiennes/TCL pour approximer des p-valeurs quand n grand, et relier “somme i.i.d. → gaussienne”.
10. Savoir traiter les tests sur la moyenne avec variance connue (seuil sur X̄ via quantile normal) et avec variance inconnue (statistique pivot T ~ T(n−1)).
11. Savoir traiter les tests sur la variance et/ou deux variances via Fisher : F ~ F(n1−1,n2−1), région de rejet à droite et p-valeur 1−cdf(F, Fobs).
12. Savoir faire un test d’adéquation chi-deux : construire classes, calculer E_i, ψ=Σ(O_i−E_i)^2/E_i, utiliser l’approximation ψ≈(m−1−ℓ)χ^2 et conclure avec quantile t1−α.
13. Savoir utiliser QQ-plot et KS : QQ-plot compare quantiles empiriques vs théoriques, KS utilise ψ(X)=sup_x|F̂_n(x)−F0(x)| et p-valeur via logiciel/approximation.
14. Savoir faire ANOVA/Fisher en dimension : décomposition S_tot=S_inter+S_intra, η^2=S_inter/S_tot, et test F=(S_inter/(I−1))/(S_intra/(n−I)) ~ F(I−1,n−I) sous H0, rejet si F>f1−α.