Lernzettel: Introduction aux vecteurs et leurs relations

📋 Plan du Cours

1. Vecteur : direction, sens, norme
2. Relations entre vecteurs et vecteur nul
3. Relation de Chasles et règle du parallélogramme
4. Vecteurs colinéaires et homothétie

📖 1. Vecteur : direction, sens, norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet géométrique défini par une direction, un sens et une norme (longueur).
• Direction d’un vecteur : Caractéristique du vecteur donnée par la droite support sur laquelle il est porté.
• Sens d’un vecteur : Orientation du vecteur indiquée par la flèche, qui distingue deux vecteurs de même direction mais opposés.
• Norme d’un vecteur : Longueur du vecteur, c’est-à-dire sa taille mesurée indépendamment de son sens.

📝 Points essentiels

• Un vecteur se décrit par direction (droite), sens (flèche) et norme (longueur).
• Le vecteur 6{AB} se lit comme allant de $A$ vers $B$ (origine $A$, extrémité $B$).
• Deux vecteurs peuvent avoir la même direction mais des sens différents, ce qui change le signe du vecteur opposé.
• La norme correspond à la longueur du segment associé au vecteur, donc elle varie si on change l’échelle (homothétie ou multiplication par un scalaire).
• En écriture, 6{AB} et 6{BA} ne sont pas identiques : ils ont même direction mais des sens opposés.

💡 Astuce mémo

Direction = droite support ; Sens = flèche ; Norme = longueur.

📖 2. Relations entre vecteurs et vecteur nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Vecteur de norme nulle, noté 6{0}, dont l’origine et l’extrémité coïncident.
• Vecteur opposé : Vecteur de même direction et de même norme, mais de sens contraire, noté -6{u} pour un vecteur 6{u}.
• Vecteurs confondus : Situation où deux points coïncident, ce qui rend le vecteur entre eux nul.

📝 Points essentiels

• Si $A$ et $B$ sont confondus, alors 6{AB}=6{0}.
• Si $B$ est le milieu de $[AC]$, alors 6{AB}=6{DC} dans le parallélogramme associé (même vecteur).
• Le vecteur 6{BA} est l’opposé de 6{AB} : 6{BA}=-6{AB} (même direction, longueur identique, sens différent).
• On peut aussi relier des vecteurs consécutifs : si $A,B,C$ sont alignés avec $B$ entre $A$ et $C$, alors 6{AB}=6{BC}.
• La relation de vecteur nul sert de test : si l’origine et l’extrémité sont le même point, le vecteur est nul.

💡 Astuce mémo

Même point (origine = extrémité)  vecteur nul ; sens inversé  opposé.

📖 3. Relation de Chasles et règle du parallélogramme

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : Écriture qui relie la somme de deux vecteurs consécutifs à un vecteur unique entre l’origine et l’extrémité finale.
• Règle du parallélogramme : Règle qui exprime la somme de deux vecteurs issus d’un même point comme un vecteur reliant ce point à l’extrémité opposée du parallélogramme.
• Somme de vecteurs : Opération géométrique qui correspond à enchaîner des déplacements pour obtenir un déplacement résultant.
• Commutativité de la somme : Propriété selon laquelle l’ordre des vecteurs dans une somme ne change pas le résultat.

📝 Points essentiels

• Relation de Chasles : 6{AB}+6{BC}=6{AC}.
• Règle du parallélogramme : 6{AB}+6{AC}=6{AD}.
• La somme est commutative : 6{u}+6{v}=6{v}+6{u}.
• La soustraction se réécrit avec un opposé : 6{v}-6{v}=6{u}+(-6{v}) (utiliser -6{v} pour changer le sens).
• Pour appliquer Chasles, les vecteurs doivent être consécutifs : l’extrémité du premier coïncide avec l’origine du second.

💡 Astuce mémo

Chasles : AB puis BC  AC ; Parallélogramme : AB + AC  AD.

📖 4. Vecteurs colinéaires et homothétie

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Vecteurs portés par des droites parallèles, donc liés par une multiplication par un réel.
• Homothétie : Transformation géométrique de centre $H$ qui envoie un point $A$ sur $A'$ en multipliant les vecteurs par un rapport constant.
• Rapport d’homothétie : Réel qui fixe le facteur d’échelle entre les vecteurs issus du centre $H$ et leurs images.
• Sens selon le signe du rapport : Règle indiquant que le signe du rapport détermine si les vecteurs gardent ou inversent le sens.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs 6{v} et 6{u} sont colinéaires si 6{v}=k6{u} pour un réel $k$.
• Si $k>0$, les vecteurs ont même direction et même sens.
• Si $k<0$, les vecteurs ont même direction mais sens différent.
• La longueur du vecteur image dépend de $k$ : multiplier par $k$ change la norme selon l’échelle.
• Cas d’alignement : si 6{AB} et 6{AC} sont colinéaires et $A$ est commun, alors $A,B,C$ sont alignés.
• Cas de parallélisme : si 6{AB} et 6{CD} sont colinéaires, alors $(AB)//(CD)$.

💡 Astuce mémo

Colinéaires = même droite (à un facteur $k$) ; $k+$ même sens, $k-$ sens opposé.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du coefficient k pour des vecteurs colinéaires

Condition	Sens	Écriture
$k>0$	Même sens	6{v}=k6{u}
$k<0$	Sens différent	6{v}=k6{u}

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre 6{AB} et 6{BA} : ils sont opposés, donc le sens change.
2. Appliquer Chasles avec des vecteurs non consécutifs : l’extrémité du premier doit être l’origine du second.
3. Utiliser la règle du parallélogramme avec deux vecteurs qui ne partent pas du même point.
4. Croire que colinéaires signifie forcément même sens : le signe de $k$ détermine le sens.
5. Penser que vecteur nul signifie vecteurs identiques : c’est surtout le cas où origine et extrémité coïncident (points confondus).

✅ Checklist Examen

1. Savoir décrire un vecteur par direction, sens et norme.
2. Savoir reconnaître et écrire le vecteur nul quand deux points sont confondus.
3. Savoir écrire le vecteur opposé : 6{BA}=-6{AB}.
4. Savoir appliquer la relation de Chasles : 6{AB}+6{BC}=6{AC}.
5. Savoir appliquer la règle du parallélogramme : 6{AB}+6{AC}=6{AD}.
6. Savoir utiliser la commutativité de la somme : 6{u}+6{v}=6{v}+6{u}.
7. Savoir caractériser des vecteurs colinéaires par 6{v}=k6{u} et interpréter le signe de $k$.
8. Savoir relier colinéarité et alignement/parallélisme : alignement si vecteurs 6{AB} et 6{AC} avec point commun ; parallélisme des supports si 6{AB} et 6{CD} colinéaires.