Lernzettel: Les vecteurs en géométrie plane

📋 Plan du Cours

1. Addition de vecteurs
2. Propriété de Chasles
3. Parallélogramme vecteurs
4. Vecteur nul et opposés
5. Milieu d'un segment
6. Produit par un réel
7. Distributivité du produit
8. Coordonnées vecteurs
9. Calcul des coordonnées
10. Norme d'un vecteur
11. Colinéarité vecteurs
12. Parallélisme de droites

📖 1. Addition de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de deux vecteurs comme translation successive : La somme de deux vecteurs u et v correspond à la translation obtenue en enchaînant d'abord la translation associée à u, puis celle associée à v. Autrement dit, la translation résultante est équivalente à une seule translation dont le vecteur est la somme u + v.

• Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C, on a : AB + BC = AC. Cette propriété exprime que la somme de deux vecteurs correspondant à deux segments successifs est équivalente au vecteur du début à la fin du parcours.

• Propriété du parallélogramme pour la somme de vecteurs : Pour tous points A, B, C et D, on a : AB + AC = AD ⇔ ABDC est un parallélogramme. Cela signifie que la somme de deux vecteurs peut être représentée par la diagonale d’un parallélogramme construit à partir de ces deux vecteurs.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs u et v est la translation résultant de l’enchaînement de leurs translations respectives.
• La relation de Chasles permet d’additionner des vecteurs successifs en utilisant la propriété géométrique des segments alignés.
• La propriété du parallélogramme établit une correspondance entre la somme de deux vecteurs et la diagonale d’un parallélogramme construit à partir de ces vecteurs.
• La translation associée à la somme u + v est équivalente à la translation obtenue en effectuant successivement la translation u puis v.

💡 À retenir

L’addition de deux vecteurs peut être visualisée comme une translation successive ou représentée par la diagonale d’un parallélogramme, grâce à la propriété du parallélogramme. La relation de Chasles garantit que la somme de vecteurs successifs correspond à un vecteur unique reliant le point de départ au point d’arrivée.

📖 2. Propriété de Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Tout vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants. Noté 0.
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u et v tels que u + v = 0. On peut écrire u = -v ou v = -u.
• Notation -v ou v = -u : La notation pour le vecteur opposé à u.
• Propriété : AB + BA = 0 : La somme de deux vecteurs AB et BA est le vecteur nul.
• Propriété : AB = -BA : Un vecteur est égal à l'opposé de l'autre si ils ont la même origine et extrémité mais dans des sens opposés.

📝 Points essentiels

• La relation de Chasles stipule que pour tous points A, B et C, on a :
  $ AB + BC = AC $
  Cette propriété exprime que la somme de deux vecteurs successifs correspond à un vecteur direct entre le point de départ et le point d'arrivée.

• La propriété AB + BA = 0 montre que deux vecteurs avec la même origine mais sens opposés se somment pour donner le vecteur nul.

• La propriété AB = -BA indique que le vecteur allant de A à B est l'opposé du vecteur allant de B à A.

• La notion de vecteur nul et de vecteurs opposés est essentielle pour comprendre la composition de translations et la colinéarité de vecteurs.

💡 À retenir

La propriété de Chasles établit que la somme de deux vecteurs successifs est équivalente à un vecteur direct, et la relation entre vecteurs opposés permet de manipuler facilement les directions et sens dans le plan.

📖 3. Parallélogramme vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d'un segment : Soit A et B deux points distincts, et I un point du plan. I est le milieu du segment [AB] si et seulement si IA + IB = 0, ce qui équivaut à IA = BI. La propriété indique que le point I partage équitablement le segment [AB].

• Vecteur égal : Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont dits égaux s'ils sont associés à une même translation, c'est-à-dire si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Cela revient à dire que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

• Propriété du milieu : Dans un contexte de coordonnées, si I est le milieu de [AB], alors $\vec{IA} + \vec{IB} = 0$ ou encore $\vec{IA} = \vec{BI}$.

📝 Points essentiels

• La relation de Chasles stipule que pour tous points A, B, C, on a : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Elle permet d'exprimer la somme de deux vecteurs comme un vecteur unique reliant deux points extrêmes.

• La règle du parallélogramme indique que pour tous points A, B, C, D, on a : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

• La propriété du milieu d’un segment : Si I est le milieu de [AB], alors $\vec{IA} + \vec{IB} = 0$ ou encore $\vec{IA} = \vec{BI}$. En coordonnées, cela donne : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.

• La définition du vecteur égal implique que deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

💡 À retenir

Le parallélogramme vecteurs repose sur la propriété que la somme de deux vecteurs correspond à la diagonale d’un parallélogramme, et que le milieu d’un segment partage équitablement ce segment, ce qui permet de définir et d’identifier des vecteurs égaux et de calculer leurs coordonnées.

📖 4. Vecteur nul et opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Tout vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants. Noté 0.
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u et v tels que leur somme est le vecteur nul, c'est-à-dire u + v = 0. On peut écrire u = -v ou v = -u.
• Produit d'un vecteur par un réel : Pour un réel k et un vecteur u, le vecteur k × u est un vecteur dont la direction est celle de u, le sens dépend de k (sens de u si k > 0, sens opposé si k < 0), et la norme est |k| × ||u||.
• Distributivité du produit par un réel : Pour tous vecteurs u, v et réels k, k' :
  • k(u + v) = ku + kv
  • (k + k')u = ku + k'u

📝 Points essentiels

• Le vecteur nul est caractérisé par le fait que sa translation laisse tous les points invariants.
• Deux vecteurs sont opposés si leur somme donne le vecteur nul, ce qui implique qu'ils ont la même norme mais des sens contraires.
• La norme d’un vecteur k × u est égale à |k| × ||u||, ce qui montre que le produit par un réel modifie la norme tout en conservant la direction (si k > 0) ou en lui donnant le sens opposé (si k < 0).
• La propriété de distributivité permet de simplifier les expressions impliquant des produits par des scalaires et des sommes de vecteurs.

💡 À retenir

Le vecteur nul laisse tous les points invariants, et deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même norme mais des sens contraires, avec le produit d’un vecteur par un réel modifiant sa norme et son sens selon la valeur de ce réel.

📖 5. Milieu d'un segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées du milieu d’un segment : Si A(xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points du plan, alors les coordonnées du point I milieu du segment [AB] sont : $ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} $ (voir propriété "Coordonnées du milieu d’un segment").

• Vecteur associé à un segment : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le mouvement de A à B, dont les coordonnées dans un repère (O; i, j) sont : $ \overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) $ (voir propriété "Coordonnées du vecteur").

📝 Points essentiels

• La propriété du milieu d’un segment indique que si I est le milieu de [AB], alors : $ IA + IB = 0 \quad \text{et} \quad IA = BI $ où IA et IB représentent les vecteurs reliant I à A et B, respectivement.

• Les coordonnées du milieu I d’un segment [AB] se calculent en faisant la moyenne des coordonnées des points A et B : $ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} $

• La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, représentant la longueur du segment [AB], est donnée par : $ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $ (voir propriété "Norme d’un vecteur").

💡 À retenir

Le milieu d’un segment est le point dont les coordonnées sont la moyenne de celles des extrémités, et le vecteur associé à ce segment se calcule en soustrayant les coordonnées des points.

📖 6. Produit par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d'un vecteur par un réel : Soit $k$ un réel non nul et $u$ un vecteur non nul. Le vecteur $k \times u$ est défini comme un vecteur dont la direction est celle de $u$, le sens dépend de $k$ (sens de $u$ si $k > 0$, sens opposé si $k < 0$), et la norme est $|k| \times |u|$.

• Norme d'un vecteur : La norme d'un vecteur $u$ est notée $|u|$ et correspond à la distance entre l'origine et l'extrémité du vecteur, calculée par la formule $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ (voir notions clés).

📝 Points essentiels

• La multiplication d’un vecteur par un réel modifie sa norme par le facteur $|k|$ tout en conservant sa direction. Si $k > 0$, le vecteur reste dans la même direction ; si $k < 0$, il a le même module mais le sens inverse.

• La propriété de distributivité s'applique : pour tous vecteurs $u, v$ et réels $k, k'$, on a : $ k(u + v) = ku + kv $ et $ ku + k'u = (k + k')u $

• La relation avec le milieu d’un segment : si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $I$ vérifie $IA = \frac{1}{2} AB$.

• La construction graphique d’un vecteur $k \times u$ consiste à représenter le vecteur $u$ puis à le « mettre à l’échelle » par le facteur $|k|$, en respectant la direction et le sens.

💡 À retenir

La multiplication d’un vecteur par un réel modifie sa longueur selon le facteur absolu, conserve sa direction, et inverse le sens si le réel est négatif. Elle permet de « mettre à l’échelle » un vecteur tout en conservant sa direction.

📖 7. Distributivité du produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité de deux vecteurs : Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = k × v ou v = k × u.
• Condition de colinéarité : Pour deux vecteurs u(x/y) et v(x'/y'), ils sont colinéaires si et seulement si x × y' - x' × y = 0. (déterminant nul)

📝 Points essentiels

• La distributivité du produit d’un vecteur par un réel s'exprime par :
  • $k(u + v) = ku + kv$
  • $ku + k'u = (k + k')u$
• La relation de colinéarité implique qu'il existe un réel k tel que u = k × v, ce qui est vérifié par la condition x × y' - x' × y = 0.
• La propriété du déterminant nul est essentielle pour vérifier la colinéarité de deux vecteurs.
• La propriété du produit par un réel permet de simplifier et de manipuler des expressions vectorielles, notamment en utilisant la norme et la direction.

💡 À retenir

La distributivité du produit par un réel permet de décomposer et de simplifier les expressions vectorielles, tandis que la condition du déterminant nul caractérise la colinéarité de deux vecteurs.

📖 8. Coordonnées vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : propriété de colinéarité (voir section 12)
  Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = k × v ou v = k × u.
  Ce qui équivaut à dire que ces vecteurs ont la même direction ou des directions opposées, et que leur déterminant (x×y' - x'×y) est nul.

• Propriété : propriété de parallélisme de droites (voir section 12)
  Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Propriété : propriété de colinéarité impliquant l'alignement de points (voir section 12)
  Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c’est-à-dire si le vecteur AB est un multiple du vecteur AC.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement de ces deux vecteurs. Elle vérifie la relation de Chasles : pour tous points A, B, C, on a : AB + BC = AC.
• La relation de Chasles permet d’additionner des vecteurs en reliant leurs points d’origine et d’extrémité.
• Le vecteur nul est le vecteur dont l’origine et l’extrémité coïncident, noté 0, et il laisse tous les points invariants lors de la translation.
• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, ce qui correspond à leur représentation par une même translation.
• La norme d’un vecteur est la distance entre ses points d’origine et d’extrémité, notée ||AB||, calculée par la formule :
  $ ||AB|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $
• La coordonnée d’un vecteur dans un repère (O; i, j) est donnée par le point M(x; y) tel que OM = u, avec u(x/y) ou u(x; y).
• La somme de vecteurs u(x/y) et v(x'/y') dans le repère est :
  $ u + v = (x + x', y + y') $
• La coordonnée du milieu d’un segment [AB] est :
  $ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} $

💡 À retenir

Les vecteurs sont entièrement caractérisés par leur direction, leur sens et leur norme, et la colinéarité de deux vecteurs se traduit par leur représentation par un même ou un multiple de vecteur. La relation de Chasles facilite l’addition de vecteurs et le calcul de coordonnées dans un repère.

📖 9. Calcul des coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation entre translation et vecteur : La translation qui déplace tous les points selon un vecteur donné correspond à un mouvement de tous les points du plan selon ce vecteur.
• Définition d'un vecteur comme mouvement de A à B : Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le mouvement rectiligne qui transforme le point A en le point B, où A est l'origine et B l'extrémité du vecteur.
• Vecteurs égaux liés à une même translation : Deux vecteurs sont dits égaux s'ils sont associés à la même translation, ce qui revient à dire qu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, et qu'ils sont représentés par un même vecteur.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs $ u $ et $ v $ est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement de ces deux translations.
• La relation de Chasles stipule que pour tous points A, B, C : $ AB + BC = AC $.
• La règle du parallélogramme indique que pour tous points A, B, C, D : $ AB + AC = AD \iff ABDC $ est un parallélogramme.
• Le vecteur nul, noté 0, a son origine et son extrémité confondues, laissant tous les points invariants lors de la translation.
• Deux vecteurs $ u $ et $ v $ sont opposés si $ u + v = 0 $, ou $ u = -v $.
• La norme d’un vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est la distance entre A et B, donnée par $ ||AB|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $.
• La coordonnées d’un vecteur $ u(x/y) $ dans un repère (O; i, j) sont celles du point M(x; y) tel que $ OM = u $.
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

💡 À retenir

Les vecteurs sont liés aux translations : ils représentent le mouvement d’un point d’une position à une autre, et deux vecteurs égaux correspondent à la même translation, partageant la même direction, sens et norme.

📖 10. Norme d'un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : mouvement de A à B, associé à une translation. Deux vecteurs sont égaux si associés à la même translation (voir définition de la propriété : deux vecteurs égaux si associés à la même translation).
• Norme d'un vecteur $|\vec{u}|$ : nombre représentant la longueur du vecteur, c'est la distance entre l'origine et l'extrémité du vecteur dans le plan.
• Relation entre vecteurs et parallélogrammes : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils sont associés à une même translation (voir relation entre vecteurs et parallélogrammes).

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est notée $|\overrightarrow{AB}|$ et correspond à la distance entre A et B, calculée par :
  $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme (relation de l'égalité des vecteurs).
• La norme est un nombre positif ou nul, et la norme du vecteur nul est zéro.
• La relation entre vecteurs et parallélogrammes indique que deux vecteurs sont égaux si ils peuvent être représentés par deux côtés opposés d’un parallélogramme.

💡 À retenir

La norme d’un vecteur est la longueur du segment qu’il représente, et deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, ce qui correspond à une même translation dans le plan.

📖 11. Colinéarité vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Direction, sens, norme d'un vecteur :
  Direction : la ligne le long de laquelle le vecteur est orienté.
  Sens : l'orientation du vecteur le long de sa direction, indiquant le point d'origine vers le point d'extrémité.
  Norme : la longueur du vecteur, notée $|\vec{u}|$, représentant la distance entre l'origine et l'extrémité du vecteur.

• Colinéarité de deux vecteurs :
  Deux vecteurs $ u $ et $ v $ sont colinéaires s'il existe un réel $ k $ tel que $ u = k \times v $ ou $ v = k \times u $.
  La condition algébrique de colinéarité est donnée par :
  $ x \times y' - x' \times y = 0 $ où $ u(x/y) $ et $ v(x'/y') $ sont leurs coordonnées dans un repère.

• Vecteur nul :
  Vecteur dont l'origine et l'extrémité coïncident, considéré comme colinéaire à tout vecteur.

• Vecteurs opposés :
  Deux vecteurs $ u $ et $ v $ tels que $ u = -v $.

📝 Points essentiels

• La colinéarité se vérifie par le déterminant $ x \times y' - x' \times y $. Si ce déterminant est nul, alors $ u $ et $ v $ sont colinéaires.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction ou des directions opposées, avec éventuellement des normes différentes.
• La relation $ u = k \times v $ implique que $ u $ et $ v $ ont la même ou des directions opposées, selon le signe de $ k $.
• La colinéarité de deux vecteurs implique que leurs droites associées sont parallèles : $ (AB) // (CD) \iff \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ sont colinéaires.
• Si deux points $ A, B, C $ sont alignés, alors $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires.

💡 À retenir

Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul, ce qui signifie qu'ils ont la même direction ou des directions opposées, et qu'ils peuvent être liés par un facteur scalaire.

📖 12. Parallélisme de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation entre deux vecteurs égaux : Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, ce qui revient à dire qu'ils représentent la même translation ou le même mouvement rectiligne.
• Représentation par un même vecteur : Deux vecteurs sont représentés par un même vecteur si et seulement si ils sont égaux.
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u et v sont opposés si u = -v, c'est-à-dire qu'ils ont la même norme mais des sens opposés.

📝 Points essentiels

• La relation entre deux vecteurs égaux est fondamentale pour définir le parallélisme de droites, car deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si l'un est un multiple scalaire de l'autre.
• La propriété que deux vecteurs u et v sont opposés si u = -v permet d'identifier des directions opposées, ce qui est utile pour déterminer si deux droites sont parallèles mais de sens opposés.
• La représentation par un même vecteur implique que ces vecteurs ont la même direction, le même sens et la même norme, ce qui est une condition nécessaire pour le parallélisme.
• La relation entre deux vecteurs égaux est une condition de base pour analyser le parallélisme de droites dans le plan.

💡 À retenir

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qui revient à dire qu'ils sont représentés par des vecteurs égaux ou opposés. La relation entre vecteurs égaux et vecteurs opposés permet d'identifier ces parallélismes et leur sens.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la propriété de Chasles avec la propriété du parallélogramme : la première concerne la somme successive, la seconde la construction géométrique.
2. Confusion entre vecteur nul et vecteur opposé : le nul laisse tous les points invariants, l’opposé a la même norme mais sens contraire.
3. Mauvaise utilisation des coordonnées du milieu : oublier de faire la moyenne des coordonnées.
4. Confondre la norme d’un vecteur avec sa longueur dans un repère : la norme est une valeur absolue, indépendante du repère.
5. Oublier que le produit par un réel modifie la norme et le sens selon le signe de ce réel.
6. Confondre vecteur égal et vecteur opposé : vecteurs égaux ont même direction et norme, opposés ont même norme mais sens opposé.
7. Ne pas distinguer la translation (vecteur) de la position du point dans le plan.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la relation de Chasles et sa signification géométrique.
2. Savoir que la somme de deux vecteurs correspond à une translation successive ou à la diagonale d’un parallélogramme.
3. Maîtriser la propriété du parallélogramme pour additionner deux vecteurs.
4. Savoir définir un vecteur nul et ses propriétés.
5. Comprendre la notion de vecteurs opposés et leur relation avec le vecteur nul.
6. Connaître la formule pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
7. Savoir que le vecteur associé à un segment est la différence de coordonnées des points extrémités.
8. Maîtriser la propriété que si I est le milieu de [AB], alors IA = IB.
9. Comprendre que le produit d’un vecteur par un réel modifie sa norme par la valeur absolue de ce réel.
10. Connaître la propriété de distributivité du produit par un réel.
11. Savoir que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, sens et norme.
12. Connaître la définition et la propriété du vecteur nul et des vecteurs opposés.