Lernzettel: Maîtrise des correcteurs en asservissement

📋 Plan du Cours

1. Identification et modélisation du système instable par analyse du diagramme de Bode
2. Asservissement en position avec correcteur proportionnel et calcul de la marge de phase
3. Analyse des réponses temporelles et erreurs permanentes avec correcteur proportionnel
4. Dimensionnement et effets du correcteur PI sur la précision et la stabilité du système
5. Caractéristiques et limitations du correcteur proportionnel dérivé (PD)
6. Réglage et impact du correcteur avance de phase sur la rapidité du système
7. Conception et simulation du correcteur PID combinant rapidité et précision
8. Méthodes de validation expérimentale et bibliographie pour l’étude des systèmes asservis

📖 1. Identification et modélisation du système instable par analyse du diagramme de Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝜏𝑖 : Le correcteur PI fait en sorte que s
• Diagramme de Bode : Représentation graphique de la réponse en fréquence d'un système, présentant le gain en décibels et la phase en degrés en fonction de la fréquence.
• Fréquence de coupure (ωc) : Fréquence correspondant au point d'intersection des asymptotes du diagramme de gain, ici ωc = 11 rad/s, utilisée pour calculer le paramètre temporel 𝜏 = 1/ωc.

📝 Points essentiels

• La pente du diagramme de gain à basse fréquence est de −20 dB/décade, caractéristique d'un intégrateur pur 1/s.
• La pente à haute fréquence est de −40 dB/décade, indiquant un intégrateur plus un filtre du premier ordre.
• La fréquence de coupure ωc est déterminée par le point d'intersection des asymptotes du diagramme de gain, ici ωc = 11 rad/s, ce qui permet de calculer τ = 1/ωc = 1/11.
• Le gain statique K est calculé à partir de l'écart en dB entre l'asymptote basse fréquence et la courbe expérimentale, ici K ≈ 3,54.
• L'ajout d'un troisième pôle rapide (τ₃ ≈ 0,009 s) explique la chute de phase supplémentaire observée, mais est négligeable pour la dynamique principale.

💡 À retenir

Comprendre comment extraire les paramètres clés d'un système instable à partir du diagramme de Bode permet de modéliser précisément sa fonction de transfert.

📖 2. Asservissement en position avec correcteur proportionnel et calcul de la marge de phase

🔑 Notions clés & Définitions

• Marge de phase : Quantité d'angle de phase supplémentaire que le système en boucle ouverte peut tolérer avant d'atteindre l'instabilité, mesurée à la fréquence de coupure où le gain est unitaire.
• Correcteur proportionnel : Dispositif de commande dont la sortie est proportionnelle à l'entrée, utilisé pour stabiliser le système en position en ajustant le gain Kp.
• ROB-3 Automatique Séquence expérimentale Derrouet : Séquence expérimentale utilisée pour simuler et analyser la réponse temporelle et la stabilité du système asservi.
• Automatique Séquence expérimentale Derrouet Bastien : Pour K on impose le module

📝 Points essentiels

• L'ajout d'un correcteur proportionnel stabilise le système en position et peut annuler l'erreur statique pour une consigne échelon.
• La marge de phase cible est fixée à 70° pour assurer la stabilité, ce qui correspond à une phase de −110° à la fréquence de coupure ω₀dB.
• Le gain proportionnel Kp est calculé à partir du module du système en boucle ouverte à ω₀dB, ici Kp ≈ 1,41.
• Le gain critique Kc correspond au gain pour lequel la marge de phase est nulle (0°), ici Kc ≈ 34,1, indiquant la limite de stabilité du système.
• Vérification de tau avant de continuer le dimensionnement des correcteurs - On trouve la période théorique : 𝑇 = 2𝜋𝜏 , avec 𝜏 = 1 11 𝑇~ 0.57 - Vérification de la période par mesure expérimentale o Valeur attendue de déphasage : -135° -> valeur de la fréquence de coupure o Valeur trouvée de déphasage -136.02 - Conclusion o La valeur de 𝜏 est vérifiée Ajout d’un correcteur PI : Forme du correcteur : 𝐾𝑖 × 𝜏𝑖𝑠 + 1 𝜏𝑖𝑠 On peut identifier le schéma bloc suivant : 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠) × 𝐺(𝑠) × 𝐸(𝑠), ici C(s)xG(s) = FBO ROB-3 Automatique Séquence expérimentale Derrouet Bastien 10 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐹𝐵𝑂(𝑠) × 𝐸(𝑠) = 1 1 + 𝐹𝐵𝑂(𝑠) × 𝑅(𝑠) Et 𝐹𝐵𝑂 = 𝐾𝑝 × 𝜏𝑖𝑠 + 1 𝜏𝑖𝑠 × 𝐺(𝑠) 𝑐(𝑠) = 𝑘𝑖 × (1 + 𝜏𝑖𝑠) 𝑠 𝐺(𝑠) = 𝐾 𝑠(1 + 𝜏𝑠) Soit FTBO = C(s) x G(s) = 𝑘×𝑘𝑖×(1+𝜏𝑖𝑠) 𝑠²(1+ 𝜏𝑠) On cherche alors à trouver 𝑘𝑖𝑒𝑡 𝜏𝑖 Façon théorique : On choisit une marge de phase cible de 50°.

💡 À retenir

L'ajout d'un correcteur proportionnel stabilise le système en position et peut annuler l'erreur statique pour une consigne échelon.

📖 3. Analyse des réponses temporelles et erreurs permanentes avec correcteur proportionnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Consigne : Signal d'entrée fixé pour le système, tel qu'un échelon, une rampe ou un carré, servant de référence pour analyser la réponse du système.
• Erreur permanente : 450 – 448 Précision : - L’erreur permanente entre la valeur demandée et la valeur observée.
• Signal triangulaire avec : On peut observer la réponse à un signal triangulaire avec une perturbation.

📝 Points essentiels

• Avec un correcteur proportionnel, l'erreur permanente en régime établi pour une consigne échelon est nulle grâce à la présence d'un intégrateur en boucle ouverte.
• La précision du système avec correcteur proportionnel est limitée, notamment en présence de perturbations constantes.
• Le temps de réponse et la présence ou non d'oscillations doivent être évalués expérimentalement et par simulation pour valider la performance temporelle.
• Résultat attendu - Correcteur proportionnel, l’erreur doit simplement s’ajouter au système comme une addition - Erreur de 85 Réponse à un signal triangulaire avec perturbation ROB-3 Automatique Séquence expérimentale Derrouet Bastien 9 Observation signal carré et triangulaire : Avec perturbation, l'erreur s'ajoute linéairement à l'erreur sans perturbation.
• Pour les réponse en BF : utilisez des courbes Matlab avec suffisamment de points, choisissez des fréquences de consigne qui laissent le temps au régime établi d'être bien visible Les résultats en BF (temps de réponse, présence ou non d'oscillation, erreurs permanentes, etc.) doivent être non seulement estimées lors des manips mais aussi calculées (avec explications suffisantes) et obtenus en simulation.

💡 À retenir

Le correcteur proportionnel présente des limites en précision et en réponse temporelle face à différentes entrées et perturbations, avec une erreur permanente non nulle pour les rampes et en présence de perturbations constantes.

📖 4. Dimensionnement et effets du correcteur PI sur la précision et la stabilité du système

🔑 Notions clés & Définitions

• Lim(𝑠 → 0) 1 1 + "∞" : Expression mathématique indiquant que l'erreur statique pour un système en boucle fermée avec intégrateur tend vers zéro en réponse à un échelon, car le gain en boucle ouverte devient infini.
• Tau1 et tau2 : − 1 (𝜏𝑖) o L’ajout d’un zéro permet de faire dépasser la réponse indicielle sans provoquer d’oscillation Pour éviter de perturber le système, il faut que le zéro soit « placé » avant la fréquence de coupure wn

📝 Points essentiels

• Le correcteur PI ajoute un intégrateur et un zéro, améliorant la précision en annulant l'erreur statique pour une entrée échelon et rampe.
• La constante de temps τi est calculée pour obtenir une marge de phase de 50°, avec τi ≈ 0,68 s.
• Le gain Ki est déterminé en imposant un module unitaire à la fréquence ωmax où la phase maximale est atteinte, ici Ki ≈ 1,67.
• L'ajout du zéro du PI redresse la phase autour de ωmax, améliorant la stabilité sans provoquer d'oscillations.
• Le correcteur PI ralentit la réponse du système, avec un temps de stabilisation d'environ 2,1 s, plus long que celui d'un correcteur proportionnel.

💡 À retenir

Le correcteur PI ajoute un intégrateur et un zéro, améliorant la précision en annulant l'erreur statique pour une entrée échelon et rampe.

📖 5. Caractéristiques et limitations du correcteur proportionnel dérivé (PD)

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Le correcteur PD augmente la marge de phase à une fréquence plus élevée, améliorant la rapidité du système.
• Le zéro du dérivateur est placé à la même fréquence que le pôle dominant (τd = τ1 = 1/11) pour compenser ce pôle et augmenter la marge de phase.
• Un correcteur PD idéal amplifie le gain à haute fréquence, ce qui amplifie le bruit de mesure et peut rendre la commande instable et bruitée.
• Expérimentalement, l'utilisation du correcteur PD provoque de fortes oscillations et un bruit constant dû à l'amplification des hautes fréquences.
• Le correcteur PD est limité par sa sensibilité au bruit, ce qui restreint son usage pratique sans filtrage adapté.

💡 À retenir

Le correcteur PD améliore la rapidité en augmentant la marge de phase, mais son amplification du bruit limite son utilisation pratique sans filtrage.

📖 6. Réglage et impact du correcteur avance de phase sur la rapidité du système

🔑 Notions clés & Définitions

• Correcteur avance de phase : Un dispositif de régulation qui remplace un pôle lent par un pôle plus rapide afin d'accélérer la réponse temporelle du système.
• Système plus : Un système dont la constante de temps est réduite par un facteur x, ce qui augmente sa rapidité de x fois.
• Soit x fois plus : Une expression indiquant que la rapidité du système est multipliée par un facteur x, obtenu en réduisant la constante de temps τd à τ/x.

📝 Points essentiels

• La constante de temps τc est choisie égale à τ pour annuler le pôle dominant, tandis que τd est plus petite pour augmenter la rapidité.
• Le gain du correcteur kc est calculé pour maintenir un module unitaire à la fréquence de coupure, ici kc ≈ 1,89.
• Le correcteur avance de phase réduit le temps de réponse à environ 0,68 s en pratique.
• Le correcteur avance de phase améliore la rapidité sans corriger l'erreur permanente, car il ne contient pas d'intégrateur, ce qui limite la précision.

💡 À retenir

Le correcteur avance de phase accélère la réponse du système en remplaçant un pôle lent par un pôle plus rapide, sans améliorer la précision car il ne corrige pas l'erreur permanente.

📖 7. Conception et simulation du correcteur PID combinant rapidité et précision

🔑 Notions clés & Définitions

• Correcteur PID réel : Schéma d’un correcteur PID intégrant une action proportionnelle, intégrale et dérivée, avec une forme spécifique : kc((1 + τc1s)(1 + τc2s) / s(1 + τd s)).
• Premier dépassement : Premier pic ou dépassement de la réponse du système après une commande, ici d’environ 0,25 s, indiquant la rapidité de la réponse.

📝 Points essentiels

• Les constantes τc1 et τc2 sont choisies égales à τ pour compenser les pôles dominants du système.
• La simulation montre un temps de réponse au premier dépassement d'environ 0,25 s et une stabilisation en 0,78 s, améliorant la performance temporelle.

💡 À retenir

Intégrer les trois actions du correcteur PID permet d’optimiser la rapidité et la précision du système asservi.

📖 8. Méthodes de validation expérimentale et bibliographie pour l’étude des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• La validation expérimentale nécessite des mesures précises et un choix judicieux des fréquences pour observer le régime établi.
• Les résultats expérimentaux doivent être comparés aux simulations numériques réalisées avec des outils comme Matlab pour vérifier la cohérence et la précision.
• Les écarts entre mesures et simulations sont souvent dus à des phénomènes non modélisés, comme les frottements mécaniques.
• La bibliographie recommandée inclut le livre d'Eric Ostertag et plusieurs ressources en ligne spécialisées en automatique et asservissement.
• L’intelligence artificielle peut être utilisée pour assister dans les calculs et la réalisation des schémas, mais ne remplace pas la validation expérimentale.

💡 À retenir

La validation expérimentale nécessite des mesures précises et un choix judicieux des fréquences pour observer le régime établi.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des types de correcteurs

Type de correcteur	Effet principal	Limitation
Proportionnel	Stabilise en position, annule erreur statique	Erreur permanente limitée en présence de perturbations constantes
PI	Améliore précision, annule erreur statique pour échelon et rampe	Ralentit la réponse, augmente le temps de stabilisation
PD	Augmente rapidité, améliore marge de phase	Amplifie le bruit, limite utilisation pratique sans filtrage
PID	Combine rapidité et précision	Complexité de réglage, nécessite une bonne modélisation

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre marge de phase et marge de gain, qui ont des significations différentes.
2. Erreur à ne pas confondre entre erreur statique et erreur en régime transitoire.
3. Mauvaise interprétation de la fréquence de coupure comme étant la fréquence de résonance.
4. Supposer que l'ajout d'un correcteur ne peut pas déstabiliser le système si la marge de phase est positive.
5. Confondre la réponse en fréquence d'un système avec sa réponse temporelle.
6. Négliger l'effet du bruit lors de l'utilisation d'un correcteur dérivé.
7. Utiliser un correcteur avance de phase sans considérer ses effets sur le bruit et la stabilité.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la stabilité du système après chaque modification du correcteur.
2. Mesurer la marge de phase et de gain pour assurer la stabilité.
3. Comparer la réponse expérimentale avec la simulation pour valider le modèle.
4. Vérifier l'absence de dépassement excessif dans la réponse temporelle.
5. S'assurer que le correcteur ne amplifie pas le bruit de mesure.
6. Optimiser le placement des pôles et zéro pour équilibrer rapidité et stabilité.
7. Tester la réponse en présence de perturbations pour vérifier la robustesse.
8. Documenter toutes les étapes de réglage pour reproductibilité.
9. Utiliser des outils de simulation pour anticiper les effets des correcteurs.
10. Vérifier la cohérence entre la réponse en fréquence et la réponse temporelle.
11. Éviter la surcharge du système par un gain excessif.
12. S'assurer que le correcteur ne provoque pas d'oscillations indésirables.