Modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein

📋 Plan du Cours

1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein
2. Arbitrage et Probabilités
3. Évolution binomiale d'un actif
4. Calcul de la prime d'option
5. Hedging et Delta
6. Extensions multi-périodes
7. Calcul u et d
8. Options américaines vs européennes
9. Application pratique du modèle

📖 1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Représentation discrète de l'évolution du prix d'un actif sous forme d'un arbre où chaque étape correspond à un mouvement "up" ou "down", permettant de modéliser la trajectoire possible du prix sur plusieurs périodes.

• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle calculée pour valoriser un actif en utilisant une mesure sous laquelle l'espérance du rendement de l'actif est le taux sans risque, indépendamment des probabilités réelles de mouvement (formule : $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$, selon Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

• Paramètres u et d (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Facteurs multiplicatifs représentant respectivement le mouvement "up" et "down" du prix de l'actif à chaque étape, estimés par $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$, où $\sigma$ est la volatilité.

• Hedging delta (∆) : Quantité d'actif sous-jacent à détenir pour neutraliser le risque d'une position sur une option, calculée à chaque étape pour assurer un portefeuille sans risque.