Propriétés et applications des endomorphismes orthogonaux

📋 Plan du Cours

1. Représentation formes linéaires
2. Adjonction endomorphismes
3. Propriétés adjoints
4. Matrices adjoints
5. Stabilité sous endomorphismes
6. Orientation espace euclidien
7. Isométries vectorielles
8. Matrices orthogonales
9. Déterminant isométrie
10. Changement base orthonormée
11. Produit mixte dimension 3
12. Produit vectoriel dimension 3

📖 1. Représentation formes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de représentation de Riesz (Proposition 1) : Tout forme linéaire φ sur un espace euclidien E de dimension n peut s’écrire sous la forme φ(x) = (v, x), où v est un vecteur unique de E.
• Existence et unicité du vecteur associé : Pour chaque forme linéaire φ, il existe un vecteur unique v tel que φ(x) = (v, x) pour tout x ∈ E.
• Définition de l'adjoint d’un endomorphisme (Proposition 2), ****** :** Soit f ∈ L(E). Il existe un unique endomorphisme g ∈ L(E) tel que pour tout (x, y) ∈ E², (f(x), y) = (x, g(y)). L’endomorphisme g est appelé l’adjoint de f, noté f*.

📝 Points essentiels