Lernzettel: Analyse des fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Forme développée et parabole
3. Forme canonique et variations
4. Discriminant et équation du second degré
5. Cas du discriminant négatif ou nul
6. Cas du discriminant positif

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction trinôme : Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme développée : La forme $ax^2+bx+c$ est appelée forme développée de la fonction polynôme du second degré.
• Condition sur $c$ : On a toujours $c=f(0)$ pour une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthogonal, la courbe d’une telle fonction est une parabole.
• Si $a>0$, la parabole a ses branches vers le haut ; si $a<0$, elles sont vers le bas.

📖 2. Forme développée et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal est une parabole.
• **Signe de $a** : Le signe de$a$détermine l’orientation verticale de la parabole : haut pour$a>0$, bas pour$a<0$.

📝 Points essentiels

• L’orientation de la parabole dépend uniquement de $a$, pas de $b$ ni de $c$.
• Le coefficient constant $c$ correspond à l’ordonnée à l’origine, via $f(0)=c$.

📖 3. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
• Sommet : Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la valeur $\beta$ est l’extremum et il est atteint pour $x=\alpha$.
• Tableau de variations : Le sens des variations se lit à partir de $a$ et de la position de $\alpha$ autour du sommet.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
• Si $a<0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
• Le minimum vaut $\beta$ si $a>0$, et le maximum vaut $\beta$ si $a<0$.

📖 4. Discriminant et équation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant de $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.
• Solutions par racines : Les solutions de $ax^2+bx+c=0$ s’expriment à partir de $\Delta$ et des coefficients $a,b,c$.

📝 Points essentiels

• La forme $ax^2+bx+c$ admet des solutions réelles selon le signe de $\Delta$ : négatif, nul, ou positif.
• Quand $\Delta>0$, les deux solutions réelles s’écrivent $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 5. Cas du discriminant négatif ou nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Δ négatif : Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.
• Δ nul : Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution réelle $x_0=\frac{-b}{2a}$.
• Signe de $f$ : Le signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du signe de $a$ et de la position de $x$ par rapport aux racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, alors pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$ et $f$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; pour $x\neq x_0$, $f(x)$ est du signe de $a$.
• Avec $\Delta=0$, les coefficients vérifient aussi $b=-2ax_0$ et $c=ax_0^2$.

📖 6. Cas du discriminant positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Δ positif : Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes.
• Factorisation : Quand $\Delta>0$, on peut écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1$ et $x_2$ racines.
• Signe entre racines : Le signe de $f(x)$ change de manière contrôlée quand on passe d’un intervalle à l’autre par rapport à $x_1$ et $x_2$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, $x_1$ et $x_2$ sont donnés par $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Pour tout réel $x$ à l’extérieur des racines, $f(x)$ est du signe de $a$ ; pour tout réel $x$ entre les racines, $f(x)$ est du signe de $-a$.
• Les coefficients vérifient $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=ax_1x_2$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec la forme développée $ax^2+bx+c$ : ce n’est pas la même écriture des paramètres.
2. Prendre le mauvais signe d’orientation de la parabole : $a>0$ donne des branches vers le haut, $a<0$ vers le bas.
3. Oublier le cas $\Delta=0$ : il y a une seule racine réelle $x_0=\frac{-b}{2a}$, pas deux.
4. Mélanger les intervalles de signe pour $\Delta>0$ : à l’extérieur, c’est le signe de $a$ ; entre les racines, c’est le signe de $-a$.
5. Se tromper de formule pour les solutions : utiliser $\sqrt{\Delta}$ avec le bon dénominateur $2a$ et les bons signes dans $-b\pm\sqrt{\Delta}$.
6. Relier à tort l’extremum à $b$ ou $c$ : dans la forme canonique, l’extremum vaut $\beta$ et est atteint en $x=\alpha$.
7. Croire que $f$ se factorise toujours sur $\mathbb{R}$ : ce n’est pas le cas quand $\Delta<0$.

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement une fonction polynôme du second degré sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Relier systématiquement $c$ à $f(0)$.
3. Reconnaître que la courbe est une parabole et déterminer son orientation grâce au signe de $a$.
4. Passer à la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et identifier $\alpha$ (abscisse) et $\beta$ (valeur de l’extremum).
5. Déduire les variations de $f$ à partir de $a$ : décroissance puis croissance si $a>0$, et inverse si $a<0$.
6. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour étudier $ax^2+bx+c=0$.
7. Traiter le cas $\Delta<0$ : conclure absence de solutions réelles et signe constant de $f$ égal au signe de $a$.
8. Traiter le cas $\Delta=0$ : conclure une unique solution $x_0=\frac{-b}{2a}$ et utiliser $f(x)=a(x-x_0)^2$.
9. Traiter le cas $\Delta>0$ : calculer $x_1$ et $x_2$, factoriser $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, puis déterminer le signe de $f$ à l’extérieur et entre les racines.
10. Écrire les relations coefficients-racines : $b=-2ax_0$ et $c=ax_0^2$ si $\Delta=0$, puis $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=ax_1x_2$ si $\Delta>0$.