Quiz: Analyse des fonctions polynômes du second degré — 14 Fragen

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré ?

A. f(x)=mx+b avec m≠0

B. f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0

C. f(x)=a/x^2+bx+c avec a≠0

D. f(x)=ax^3+bx^2+c avec a≠0

Answer: (B)

Erklärung

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme ax^2+bx+c avec a non nul. Une expression affine comme mx+b est de degré 1, pas de degré 2.

2. Pourquoi l’expression 5x^4-7x^2+3x-8 n’est-elle pas un trinôme du second degré ?

A. Parce qu’elle ne peut pas être tracée

B. Parce qu’elle ne contient pas de terme constant

C. Parce que son coefficient devant x^2 est négatif

D. Parce que son degré est 4 et non 2

Answer: (D)

Erklärung

Un trinôme du second degré doit être de degré 2. Ici, le terme de plus haut degré est x^4, donc ce n’est pas une fonction du second degré.

3. Sous quelle forme s’écrit la forme canonique d’une fonction du second degré ?

A. f(x)=ax^2+bx+c

B. f(x)=a(x-b1)^2+b2

C. f(x)=a(x+b1)+b2

D. f(x)=m(x-1)+p

Answer: (B)

Erklärung

La forme canonique d’un trinôme est a(x-b1)^2+b2. Elle met en évidence le sommet et l’extrémum de la parabole.

4. Dans l’écriture f(x)=a(x-b1)^2+b2, quelle est la valeur de f(b1) ?

A. b2

B. 0

C. b1

D. a

Answer: (A)

Erklärung

Quand x=b1, le terme carré s’annule, donc f(b1)=b2. C’est précisément le point du sommet en forme canonique.

5. Quelle valeur permet de centrer directement le carré parfait dans la mise en forme canonique de ax^2+bx+c ?

A. b1=b/(2a)

B. b1=-b/(2a)

C. b2=c-a

D. b2=f(0)

Answer: (B)

Erklärung

La valeur b1=-b/(2a) sert à compléter le carré et à recentrer l’expression. Elle dépend à la fois de b et de a.

6. Une fois b1 trouvé pour ax^2+bx+c, comment obtient-on b2 ?

A. On calcule b2=f(b1)

B. On calcule b2=a+b1

C. On prend b2=c

D. On prend b2=-b

Answer: (A)

Erklärung

Après avoir déterminé b1, on remplace x par b1 dans la fonction pour obtenir b2=f(b1). Cette valeur complète l’écriture canonique.

7. Comment évolue une fonction trinôme lorsque a>0 ?

A. Elle croît puis décroît

B. Elle décroît puis croît

C. Elle est constante

D. Elle oscille autour de b1

Answer: (B)

Erklärung

Si a>0, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît avant b1 puis croît après b1. Le point x=b1 correspond alors à un minimum.

8. Que se passe-t-il pour les variations d’un trinôme lorsque a<0 ?

A. La fonction reste toujours positive

B. La fonction admet deux minima

C. La fonction décroît puis croît

D. La fonction croît puis décroît

Answer: (D)

Erklärung

Lorsque a<0, la parabole est tournée vers le bas. La fonction croît jusqu’à x=b1 puis décroît ensuite.

9. Quel type d’extrémum un trinôme admet-il lorsque a>0 ?

A. Un maximum

B. Aucun extrémum

C. Deux maximums

D. Un minimum

Answer: (D)

Erklärung

Si a>0, la parabole s’ouvre vers le haut, donc l’extrémum est un minimum. Il est atteint en x=b1 et vaut b2.

10. Dans la forme f(x)=a(x-b1)^2+b2 avec a<0, quelle affirmation est correcte ?

A. L’extrémum est atteint en x=0

B. L’extrémum est un minimum égal à a

C. L’extrémum est un maximum égal à b2

D. La valeur b2 est toujours nulle

Answer: (C)

Erklärung

Quand a<0, la parabole est ouverte vers le bas, donc l’extrémum est un maximum. Il est atteint au sommet, en x=b1, et sa valeur est b2.

11. Dans une forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole ?

A. La droite $x=\alpha$

B. La droite $y=\beta$

C. La droite $y=\alpha$

D. La droite $x=\beta$

Answer: (A)

Erklärung

L’axe de symétrie d’une parabole en forme canonique est la droite verticale d’équation $x=\alpha$. La valeur $\beta$ correspond à l’ordonnée du sommet, pas à l’axe.

12. Pour la fonction $f(x)=2x^2-12x+1$, quel est le sommet de la parabole ?

A. $(3\,;\,17)$

B. $(-3\,;\,-17)$

C. $(3\,;\,-17)$

D. $(2\,;\,-17)$

Answer: (C)

Erklärung

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot 2}=3$, puis $\beta=f(3)=2\cdot 9-36+1=-17$. Le sommet est donc $(3\,;\,-17)$.

13. Pour tracer la courbe de $f(x)=-x^2+4x$, quelle écriture canonique est la plus utile ?

A. $f(x)=-(x-2)^2+4$

B. $f(x)=-x(x-4)$

C. $f(x)=(x-2)^2-4$

D. $f(x)=-(x+2)^2+4$

Answer: (A)

Erklärung

La forme canonique met en évidence le sommet et l’axe de symétrie, ce qui facilite le tracé. Ici, $f(x)=-(x-2)^2+4$ montre directement un sommet en $(2\,;\,4)$.

14. Pour représenter graphiquement une parabole, que fait-on après avoir placé quelques points d’un côté de l’axe de symétrie ?

A. On reporte leurs symétriques de l’autre côté de la droite $x=\alpha$

B. On relie les points par des segments droits

C. On transforme la courbe en droite affine

D. On utilise seulement l’ordonnée à l’origine

Answer: (A)

Erklärung

La parabole est symétrique par rapport à l’axe $x=\alpha$, donc les points trouvés d’un côté se complètent par leurs symétriques. Relier par des segments donnerait une figure anguleuse, pas une parabole.