Lernzettel: Analyse des suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Sommes des premiers termes
3. Sens de variation d’une suite
4. Limites et théorèmes d’encadrement
5. Convergence et démonstration par récurrence

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite numérique où chaque terme s’obtient en ajoutant une même constante au terme précédent.
• Raison : Constante qui relie deux termes consécutifs d’une suite, par addition (arithmétique) ou par multiplication (géométrique).
• Suite géométrique : Suite numérique où chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une même constante.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, on a la relation $U_{n+1}=U_n+r$ où $r$ est la raison.
• Si $U_0$ est le premier terme d’une suite arithmétique, alors $U_n=U_0+nr$.
• Si $U_p$ est le premier terme en compte à partir de $p$, alors $U_n=U_p+(n-p)r$.
• Pour une suite géométrique, on a la relation $U_{n+1}=qU_n$ où $q$ est la raison.
• Si $U_0$ est le premier terme d’une suite géométrique, alors $U_n=U_0q^n$.
• Si $U_p$ est le premier terme en compte à partir de $p$, alors $U_n=U_pq^{n-p}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = addition fixe ( +r ) ; géométrique = multiplication fixe ( ×q ).

📖 2. Sommes des premiers termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des premiers termes : Somme des termes de rang $0$ à $n$ d’une suite, notée généralement $S_n$.
• Somme arithmétique : Formule donnant $S_n$ pour une suite arithmétique à partir du premier et du dernier terme et du nombre de termes.
• Somme géométrique : Formule donnant $S_n$ pour une suite géométrique à partir de $q$ et du terme initial.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, $S_n=(n+1)(premier+dernier) imes$ nb de termes.
• Pour une suite géométrique, $S_n=\text{premier}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (écriture OCR : $S_n$ dépend de $1-q^{n+1}$ et de $1-q$).

📖 3. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite dont chaque terme est strictement plus grand que le terme précédent.
• Suite décroissante : Suite dont chaque terme est strictement plus petit que le terme précédent.
• Suite stationnaire : Suite dont tous les termes consécutifs sont égaux, donc la suite ne change pas.
• Suite monotone : Suite qui est soit croissante, soit décroissante selon la définition de variation.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante si $U_{n+1}>U_n$ et décroissante si $U_{n+1}<U_n$.
• Une suite est stationnaire si $U_{n+1}=U_n$.
• Pour comparer les variations via une expression $U_n=g(n)$, on reprend les variations de $g$ sur [0;+5] (intervalle tel qu’écrit dans l’OCR).
• Une méthode consiste à calculer $U_{n+1}-U_n$ puis étudier son signe pour conclure sur la variation.

💡 Astuce mémo

Signe de $U_{n+1}-U_n$ : positif  croît, négatif  décroît, nul  stationnaire.

📖 4. Limites et théorèmes d’encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de comparaison : Résultat reliant le comportement à l’infini de deux suites quand une borne est assurée à partir d’un certain rang.
• Théorème des gendarmes : Résultat utilisant deux suites encadrantes qui convergent vers la même limite pour déduire la convergence de la suite du milieu.
• Suites géométriques à l’infini : Comportement de la limite de $q^n$ selon la valeur de $q$.
• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel $M$ tel que tous les termes vérifient $U_n\le M$.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel $m$ tel que tous les termes vérifient $U_n\ge m$.

📝 Points essentiels

• Si $U_n\le V_n$ à partir d’un certain rang et si $\lim U_n=+\infty$, alors $\lim V_n=+\infty$.
• Si $U_n\ge V_n$ et si $U_n$ tend vers $+\infty$, alors $V_n$ tend aussi vers $+\infty$.
• Si $U_n\le V_n\le W_n$ et que $U_n$ et $W_n$ convergent vers la même valeur $L$, alors $V_n$ converge vers $L$.
• Pour la suite géométrique $q^n$, si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$ et si $-1<q<1$ alors $\lim q^n=0$.
• Si $q=-1$, alors $q^n$ n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Comparaison : même direction vers $+\infty$ ; gendarmes : encadré par deux limites identiques  même limite.

📖 5. Convergence et démonstration par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite bornée : Suite qui est à la fois majorée et minorée.
• Théorème de convergence : Résultat qui garantit la convergence d’une suite monotone sous une hypothèse de bornitude.
• Démonstration par récurrence : Preuve structurée en initialisation puis hérédité pour établir une propriété pour tous les rangs naturels.

📝 Points essentiels

• Une suite est bornée si elle est majorée et minorée à la fois.
• Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
• Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
• Pour la suite définie par $U_0=a$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$, la propriété visée est $0\le U_n\le 2$ pour tout $n$.
• L’initialisation consiste à vérifier $0\le U_0\le 2$, puis l’hérédité utilise $0\le U_n\le 2$ pour en déduire $0\le U_{n+1}\le 2$.

💡 Astuce mémo

Récurrence : initialiser puis héréditer (montrer que le encadrement se conserve au passage $n\to n+1$).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition de suite arithmétique $U_{n+1}=U_n+r$ avec celle de suite géométrique $U_{n+1}=qU_n$.
2. Oublier que pour conclure sur le sens de variation, il faut étudier $U_{n+1}-U_n$ (signe strict ou nul) et pas seulement deviner.
3. Mélanger la notion de suite monotone (croissante ou décroissante) avec une suite simplement croissante à partir d’un rang seulement.
4. Appliquer le théorème des gendarmes sans vérifier que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite $L$.
5. Faire une comparaison de limites à l’infini en inversant les inégalités entre $U_n$ et $V_n$ : la direction compte dans le théorème de comparaison.
6. Penser qu’une suite géométrique $q^n$ a toujours une limite : le cas $q=-1$ ne donne pas de limite.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une suite arithmétique via $U_{n+1}=U_n+r$.
2. Savoir écrire $U_n$ en fonction de $U_0$ et de $r$ pour une suite arithmétique.
3. Savoir écrire $U_n$ en fonction de $U_p$ pour une suite arithmétique à partir d’un rang $p$.
4. Savoir reconnaître une suite géométrique via $U_{n+1}=qU_n$.
5. Savoir écrire $U_n$ en fonction de $U_0$ et de $q$ pour une suite géométrique.
6. Savoir écrire $U_n$ en fonction de $U_p$ pour une suite géométrique à partir d’un rang $p$.
7. Savoir utiliser des formules de sommes $S_n$ (arithmétique et géométrique) à partir de la structure de la suite.
8. Savoir déterminer si une suite est croissante, décroissante ou stationnaire à partir de la comparaison entre $U_{n+1}$ et $U_n$.
9. Savoir déterminer le sens de variation à partir du calcul et de l’étude du signe de $U_{n+1}-U_n$.
10. Savoir appliquer le théorème de comparaison pour des limites vers $+\infty$ avec les bonnes inégalités.
11. Savoir appliquer le théorème des gendarmes quand $U_n\le V_n\le W_n$ et que $U_n$ et $W_n$ convergent vers la même limite $L$.
12. Savoir donner le comportement de $q^n$ quand $q>1$, $-1<q<1$ et $q=-1$.
13. Savoir conclure la convergence d’une suite monotone à partir de bornitude (croissante+majorée ou décroissante+minorée).
14. Savoir construire une preuve par récurrence : initialisation, hypothèse d’hérédité, puis encadrement conservé au rang $n+1$.