Revision sheet: Applications et propriétés générales

📋 Plan du Cours

1. Définition des applications
2. Images et antécédents
3. Injectivité, surjectivité et bijectivité
4. Restriction et prolongement
5. Composition des applications
6. Inversion et étude d’un exemple

📖 1. Définition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : La donnée d’un ensemble de départ, d’un ensemble d’arrivée et d’une définition ou formule associant à chaque élément du départ un unique élément de l’arrivée.

📝 Points essentiels

⚡ Deux applications peuvent être différentes même si elles sont définies par une même formule lorsque leurs ensembles de départ ou d’arrivée diffèrent.

💡 Astuce mémo

Départ → arrivée → association unique

📖 2. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Si f est une application et x appartient à son ensemble de départ, l’image de x est l’élément f(x) de l’ensemble d’arrivée qui lui est associé.
• Antécédent : Si y appartient à l’ensemble d’arrivée, un antécédent de y est un élément x du départ tel que f(x)=y.
• Image d’une partie : Pour une partie A de l’ensemble de départ, l’image de A est l’ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x parcourt A.

💡 Astuce mémo

Image : on part de x ; antécédent : on cherche x

📖 3. Injectivité, surjectivité et bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
• Surjectivité : Une application est surjective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
• Bijectivité : Une application est bijective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour tester l’injectivité, on suppose f(x)=f(x′) et on cherche à démontrer x=x′ ; pour tester la surjectivité, on fixe y et on cherche une solution à f(x)=y ; pour tester la bijectivité, on vérifie que cette équation possède une solution unique.

💡 Astuce mémo

Au plus, au moins, exactement un

📖 4. Restriction et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Restriction : D’une application f à une partie A de son ensemble de départ est l’application définie sur A par x↦f(x).
• Prolongement : De f à un ensemble plus grand est une application qui coïncide avec f sur l’ensemble où f était initialement définie.

📝 Points essentiels

• En analyse, le cours indique qu’un prolongement continu peut être unique lorsqu’une application est prolongée sur tout l’ensemble considéré.

💡 Astuce mémo

Restreindre = réduire ; prolonger = étendre

📖 5. Composition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Si f et g sont composables, la composée g∘f est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ Lorsque les deux compositions sont définies, f∘g et g∘f sont en général différentes.

• La composition des applications est associative:
  • pour des applications composables f
  • g et h
  • on a h∘(g∘f)=(h∘g)∘f

💡 Astuce mémo

Composer, c’est appliquer de droite à gauche

📖 6. Inversion et étude d’un exemple

🔑 Notions clés & Définitions

• Application réciproque : Si f est bijective, son application réciproque f⁻¹ associe à chaque élément son unique antécédent par f.
• Application identité : L’application identité d’un ensemble associe à chaque élément cet élément lui-même.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si f est bijective, alors f⁻¹∘f et f∘f⁻¹ sont les applications identités sur les ensembles concernés.

📌 La composée de deux bijections est une bijection et sa réciproque est la composition, dans l’ordre inverse, de leurs réciproques.

Compléments

🔄 Processus — Pour étudier l’application proposée dans le cours, on résout l’équation f(x)=y, on détermine la condition d’existence des solutions, puis on exploite la symétrie entre les solutions pour analyser l’injectivité et choisir une restriction bijective.

• Dans l’exemple étudié, l’application n’est pas surjective, son image est un domaine déterminé par la condition d’existence des racines, et elle devient bijective sur une restriction à un demi-plan.

• Il n’existe pas de méthode universelle permettant de déterminer directement si une application générale est injective, surjective ou bijective.

• Dans l’exemple étudié, il n’existe pas de domaine strictement plus grand que le demi-plan choisi sur lequel l’application reste injective.

💡 Astuce mémo

Résoudre f(x)=y pour inverser

📊 Tableaux de synthèse

Critères des applications

Propriété	Antécédents de chaque élément d’arrivée	Test pratique
Injective	Au plus un	f(x)=f(x′) implique x=x′
Surjective	Au moins un	Résoudre f(x)=y pour tout y
Bijective	Exactement un	Résoudre f(x)=y avec une solution unique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une application doit associer une unique image à chaque élément du départ.
2. L’image est le résultat obtenu à partir d’un élément de départ.
3. Injective signifie au plus un antécédent, et non exactement un.
4. Une restriction conserve la formule et réduit l’ensemble de départ.
5. Dans g∘f, f est appliquée avant g.
6. L’identité ne change pas l’élément auquel elle est appliquée.
7. Une formule seule ne suffit pas à caractériser une application.