Lernzettel: Analyse des systèmes linéaires en régime sinusoïdal

📋 Plan du Cours

1. Réponse harmonique des systèmes linéaires invariants aux signaux sinusoïdaux
2. Fonction de transfert en régime sinusoïdal permanent et principe de superposition
3. Familles de filtres linéaires : passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande
4. Diagrammes de Bode : représentation en module et phase de la fonction de transfert
5. Ordre d’un système et lien avec les éléments stockant de l’énergie
6. Fonction de transfert d’ordre 1 : intégrateur, dérivateur et cas général
7. Fonction de transfert d’ordre 2 : modélisation, paramètres clés et classification selon le facteur de qualité Q
8. Comportements et fréquences caractéristiques des systèmes d’ordre 2 selon le discriminant Δ et le facteur Q
9. Exercices pratiques d’identification des fonctions de transfert, gains, pulsations de coupure et tracés de diagrammes de Bode pour différents filtres

📖 1. Réponse harmonique des systèmes linéaires invariants aux signaux sinusoïdaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Réponse harmonique : La sortie d’un système linéaire invariant dans le temps soumis à une entrée sinusoïdale en régime permanent est une sinusoïde de même fréquence que l’entrée, mais dont l’amplitude et la phase sont modifiées.

📝 Points essentiels

• Tout signal périodique peut être décomposé en somme de sinusoïdes, ce qui justifie l’étude de la réponse harmonique.
• Cas particulier des signaux en régime sinusoïdal permanent : - simples à analyser, - tout signal périodique peut être décomposé en sinusoïdes.

💡 À retenir

La réponse harmonique permet de caractériser complètement le comportement fréquentiel d’un système linéaire en analysant sa réaction aux signaux sinusoïdaux, base de tout signal périodique.

📖 2. Fonction de transfert en régime sinusoïdal permanent et principe de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝐹 𝑗𝜔 : Une fonction complexe qui représente le rapport entre la sortie et l’entrée d’un système linéaire invariant à une fréquence angulaire donnée, caractérisant à la fois le gain en amplitude et le déphasage introduit.
• Principe de superposition : Une propriété des systèmes linéaires invariants selon laquelle la réponse à une somme de signaux est égale à la somme des réponses individuelles à chacun de ces signaux.
• Fonction de transfert : Entrée : 𝑒 𝑡 = 𝐸𝑀 sin 𝜔𝑡 𝐸 𝜔 = 𝐸𝑀𝑒𝑗𝜔𝑡 Sortie (régime permanent) : s 𝑡 = 𝑆𝑀 sin 𝜔𝑡 S 𝜔

📝 Points essentiels

• Le module de F(jω) correspond au rapport des amplitudes sortie/entrée, l’argument correspond au déphasage introduit par le système.
• Le principe de superposition permet d’étendre la réponse à une somme de sinusoïdes en combinant les réponses individuelles.

💡 À retenir

Le module de F(jω) correspond au rapport des amplitudes sortie/entrée, l’argument correspond au déphasage introduit par le système.

📖 3. Familles de filtres linéaires : passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande

🔑 Notions clés & Définitions

• Passe-bas : Filtre linéaire qui transmet les basses fréquences et atténue ou bloque les hautes fréquences.
• Passe-haut : Filtre linéaire qui transmet les hautes fréquences et atténue ou bloque les basses fréquences.
• TE201 – Du système : Cours qui présente un filtre comme un système linéaire modifiant l'amplitude et la phase d'un signal en fonction de la fréquence.
• Système à la fonction : Modèle d'un système linéaire invariant dans le temps caractérisé par sa fonction de transfert F(jω) en régime harmonique.
• Fonction 2025 / 2026 : Fonction de transfert utilisée dans le cadre du cours TE201 pour modéliser le comportement fréquentiel des filtres linéaires.

📝 Points essentiels

• Un filtre passe-bas transmet les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.
• Un filtre passe-bande transmet une bande de fréquences spécifique.
• Un filtre coupe-bande rejette une bande de fréquences spécifique.

💡 À retenir

Un filtre passe-bas transmet les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.

📖 4. Diagrammes de Bode : représentation en module et phase de la fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝐹𝑑𝐵 𝜔 : Grandeur exprimant le module de la fonction de transfert F(jω) en décibels, calculée par 20 log10 |F(jω)|, utilisée pour représenter l'amplitude sur une échelle logarithmique de fréquence.
• Échelle semi-logarithmique : Plans de Bode = Représentations graphiques de 𝑭 𝝎 𝒅𝑩 et de ()
• Diagrammes de Bode : Ensemble des graphiques représentant séparément ou conjointement le module en décibels et la phase en degrés ou radians de la fonction de transfert F(jω) en fonction de la fréquence ω, utilisés pour analyser la réponse fréquentielle d’un système.

📝 Points essentiels

• Le module en dB est calculé par 20 log10 |F(jω)|.
• Les diagrammes facilitent l’analyse visuelle des comportements fréquentiels et des transitions de gain et phase.

💡 À retenir

Utiliser les diagrammes de Bode comme outil visuel essentiel pour analyser et interpréter la réponse fréquentielle d’un système.

📖 5. Ordre d’un système et lien avec les éléments stockant de l’énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Éléments stockant de l’énergie : Composants électriques ou électroniques tels que condensateurs et inductances qui ont la capacité de stocker de l'énergie sous forme électrique ou magnétique dans un système.

📝 Points essentiels

• L’ordre d’un système est le nombre d’éléments stockant de l’énergie (condensateurs, inductances).
• Un système d’ordre 0 ne contient aucun élément stockant d’énergie et ne filtre pas, il a une réponse instantanée.
• Chaque pôle de la fonction de transfert correspond à un élément de stockage d’énergie et influence la dynamique du système.

💡 À retenir

L’ordre d’un système reflète le nombre d’éléments physiques stockant de l’énergie, ce qui détermine sa complexité dynamique.

📖 6. Fonction de transfert d’ordre 1 : intégrateur, dérivateur et cas général

🔑 Notions clés & Définitions

• Arg F jω : L'argument ou phase d'une fonction de transfert évaluée à la pulsation jω, exprimant le déphasage entre l'entrée et la sortie du système.
• Fonction de transfert d’ordre 1 : 𝐄 𝐣𝝎 Donc : 𝐅 𝒋𝛚 = 𝑺 𝒋𝛚 𝑬 𝒋𝛚 = 𝛕 𝐣𝛚
• Intégrateur pur : Un système dont la fonction de transfert est inversement proportionnelle à jω/ω0, soit F(jω) = 1/(jω/ω0), induisant un déphasage constant de -π/2.

📝 Points essentiels

• Un système d’ordre 1 possède un seul pôle et un seul élément de stockage d’énergie.
• L’intégrateur pur a pour fonction de transfert F(jω) = 1/(jω/ω0) et déphase de -π/2.
• Le cas général d’ordre 1 est F(jω) = 1 + jω/ω0, avec des limites en basses et hautes fréquences dépendant de ω0.
• La pulsation ω0 détermine la fréquence à laquelle le comportement du système change.

💡 À retenir

Les fonctions de transfert d’ordre 1, telles que intégrateur et dérivateur, sont fondamentales pour comprendre le filtrage et le traitement du signal.

📖 7. Fonction de transfert d’ordre 2 : modélisation, paramètres clés et classification selon le facteur de qualité Q

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert d’ordre 2 : Fonction mathématique qui modélise un système comportant deux éléments de stockage d’énergie, caractérisée par une équation différentielle du second ordre et permettant d’analyser son comportement dynamique.
• Facteur de qualité et conclure : Paramètre noté Q qui caractérise l’amortissement d’un système d’ordre 2, permettant de déterminer si le système est sur-amorti, amorti critique ou sous-amorti, et d’anticiper la présence ou non d’une résonance.

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert d’ordre 2 modélise des systèmes avec deux éléments de stockage d’énergie, caractérisée par la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q, qui influence l’amortissement.
• La fonction de transfert d’ordre 2 modélise des systèmes avec deux éléments de stockage d’énergie.

💡 À retenir

La fonction de transfert d’ordre 2 modélise des systèmes avec deux éléments de stockage d’énergie, caractérisée par la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q, qui influence l’amortissement.

📖 8. Comportements et fréquences caractéristiques des systèmes d’ordre 2 selon le discriminant Δ et le facteur Q

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝐅 𝒋𝛚 : 𝑑𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑆 𝑗𝜔
• Réponse sur-amortie : Comportement d’un système caractérisé par un discriminant Δ positif (Q < 1/2), avec deux pôles réels distincts et absence de résonance.
• Réponse sous-amortie : Comportement d’un système caractérisé par un discriminant Δ négatif (Q > 1/2), avec des pôles complexes conjugués et possibilité de résonance.

📝 Points essentiels

• Pour Δ = 0 (Q = 1/2), le système est à amortissement critique avec deux pôles réels égaux, sans résonance.
• La fréquence de résonance ωm correspond au pic de gain dans la réponse en fréquence, et dépend du facteur Q, qui détermine l’intensité de la résonance.

💡 À retenir

Relier précisément les paramètres Q et Δ aux comportements dynamiques et résonants des systèmes d’ordre 2 permet une analyse fine de leur réponse en fréquence.

📖 9. Exercices pratiques d’identification des fonctions de transfert, gains, pulsations de coupure et tracés de diagrammes de Bode pour différents filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminer la fonction de transfert : Les circuits ou systèmes linéaires dont la réponse en fréquence est analysée sont caractérisés par une fonction mathématique qui relie la sortie à l'entrée en domaine complexe, permettant d'étudier leur comportement fréquentiel.

📝 Points essentiels

• Déterminer la fonction de transfert du filtre.
• Identifier sa pulsation de coupure à -3dB.

💡 À retenir

L'application concrète des notions théoriques permet d'extraire et d'interpréter les caractéristiques fréquentielles des filtres à partir de circuits réels, notamment en déterminant leur fonction de transfert et leur pulsation de coupure.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des filtres linéaires

Type de filtre	Transmission en basse fréquence	Transmission en haute fréquence
Passe-bas	Transmet basses fréquences	Atténue hautes fréquences
Passe-haut	Atténue basses fréquences	Transmet hautes fréquences
Passe-bande	Transmet une bande de fréquences	Rejette autres fréquences
Coupe-bande	Rejette une bande de fréquences	Transmet autres fréquences

Caractéristiques des systèmes d’ordre 2

Paramètre	Effet sur la réponse	Type de comportement
Q > 1/2	Résonance accrue	Sous-amorti
Q < 1/2	Résonance atténuée	Sur-amorti
Q = 1/2	Résonance critique	Amortissement critique

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la réponse harmonique avec la réponse impulsionnelle.
2. Mélanger la phase et le module dans la fonction de transfert.
3. Oublier que la réponse harmonique est spécifique à une fréquence.
4. Confondre ordre du système et nombre d’éléments de stockage d’énergie.
5. Négliger l’impact du facteur Q sur la résonance.
6. Confondre la pulsation de coupure avec la fréquence de résonance.
7. Utiliser un diagramme de Bode sans vérifier la linéarité du système.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la décomposition en sinusoïdes pour la réponse harmonique.
2. Calculer le module et la phase de F(jω) pour différentes fréquences.
3. Identifier la fonction de transfert à partir d’un circuit réel.
4. Tracer le diagramme de Bode et repérer la pulsation de coupure.
5. Analyser le comportement en fréquence selon Q et Δ.
6. Différencier filtre passe-bas, passe-haut, bande et coupe-bande.
7. Relier l’ordre du système à ses éléments de stockage d’énergie.
8. Interpréter la réponse en fréquence en fonction de Q.
9. Vérifier la cohérence entre la réponse en fréquence et la modélisation.
10. Utiliser la réponse harmonique pour caractériser un système.