Lernzettel: Analyse des tendances par ajustement affine

📋 Plan du Cours

1. Ajustement affine et coefficient de détermination
2. Estimation d'une valeur avec la droite d'ajustement
3. Ajustement affine pour des temps d'entraînement
4. Festival de musique et modélisation linéaire
5. Ventes de voitures et pertinence de l'ajustement
6. Abonnés d'une plateforme et prévision 2025
7. Évolution de l'ADN et prédiction à 10 heures
8. Ventes cumulées de la Switch et tendance
9. Population de tigres et effet des mesures de protection
10. Prévision de disparition des tigres selon la tendance

📖 1. Ajustement affine et coefficient de détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement affine : L’ajustement affine est le modèle linéaire $y=ax+b$ utilisé pour approcher une relation entre deux variables à partir de données.
• Droite d’ajustement : La droite d’ajustement est la droite $y=ax+b$ calculée à partir des points pour résumer la tendance générale.
• **Coefficient de détermination $R^2** : Le coefficient de détermination$R^2$mesure la part de la variabilité de$y$ expliquée par l’ajustement affine.
• Pertinence de l’ajustement : La pertinence d’un ajustement affine dépend du niveau d’explication mesuré par $R^2$ et de la cohérence avec le nuage de points.

📝 Points essentiels

• L’équation d’une droite d’ajustement s’écrit sous la forme $y=ax+b$ avec $a$ la pente et $b$ l’ordonnée à l’origine.
• Le coefficient de détermination $R^2$ est calculé pour juger la qualité de l’ajustement affine.
• Dans le cours, un ajustement est jugé pertinent quand $R^2$ est proche de 1 (exemples : $R^2=0,946$ et $R^2=0,99$).
• Pour les voitures, l’ajustement affine n’est pas pertinent car $R^2$ est très faible (valeur donnée : $R^2=0,1$).
• La pertinence se justifie en reliant la valeur de $R^2$ au nuage de points (points trop dispersés ou tendance non linéaire).
• Les coefficients $a$ et $b$ sont ensuite utilisés pour faire des estimations ou des prévisions via substitution de $x$.

💡 Astuce mémo

$R^2$ proche de 1 = la droite « explique » presque tout.

📖 2. Estimation d'une valeur avec la droite d'ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimation par substitution : L’estimation par substitution consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée dans l’équation $y=ax+b$ pour obtenir une valeur de $y$.
• **Variable explicative $x** : La variable$x$représente l’information utilisée pour prédire$y$ (ex. années d’expérience, nombre d’entraînements, rang).
• **Variable expliquée $y** : La variable$y$ est la grandeur prédite par la droite d’ajustement (ex. salaire, temps, nombre de participants).
• Arrondi : L’arrondi consiste à donner le résultat avec le niveau de précision demandé (ici au dixième).

📝 Points essentiels

• Pour estimer, on utilise l’équation de la droite d’ajustement $y=ax+b$ et on remplace $x$ par la valeur voulue.
• Dans l’exemple des salaires, l’équation donnée est $y=40,45x+1\,753,859$ (coefficients issus du calcul).
• Pour $x=15$ (15 ans d’expérience), on obtient $y\approx 2360,7285$ puis on arrondit au dixième.
• Le salaire estimé pour Romain après 15 ans d’expérience est donc $2367$ euros (valeur arrondie au dixième).
• Le logiciel sert à compléter la valeur de $x$ dans la partie « Évaluer » pour lire la valeur estimée de $y$.
• L’estimation suppose que la même évolution se poursuit au-delà des données observées.

💡 Astuce mémo

Équation + valeur de $x$ = $y$ estimé.

📖 3. Ajustement affine pour des temps d'entraînement

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps d’entraînement : Le temps d’entraînement est la variable $y$ mesurée en minutes, associée à un nombre d’entraînements $x$.
• Amélioration linéaire : L’amélioration linéaire est l’hypothèse que le temps diminue selon une tendance modélisée par une droite.
• Pente négative : Une pente négative signifie que quand $x$ augmente, $y$ diminue (ici les temps deviennent plus courts).
• Prévision à partir d’une droite : Une prévision à partir d’une droite consiste à utiliser $y=ax+b$ pour déterminer une valeur de $x$ correspondant à un seuil de $y$.

📝 Points essentiels

• Les données donnent une série statistique : $x$ = nombre d’entraînements et $y$ = temps (en minutes).
• La droite d’ajustement trouvée est $y=-1,2x+1,3\,5$ (forme $y=ax+b$ avec pente négative).
• Pour trouver à partir de combien d’entraînements Samy court la même distance en moins de 5 minutes, on cherche quand $y<5$.
• Le calcul conduit à $x\approx 7,08$ (valeur obtenue dans le cours).
• Donc Samy atteindra le temps inférieur à 5 minutes à partir de 8 entraînements (car on passe au rang entier supérieur).
• L’hypothèse est que l’amélioration observée se poursuit avec la même tendance.

💡 Astuce mémo

Pente négative : plus d’entraînements → temps plus petit.

📖 4. Festival de musique et modélisation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Participants (en milliers) : Le nombre de participants au festival, exprimé en milliers, constitue la variable $y$ à modéliser.
• Réalisation d’un ajustement affine : Réaliser un ajustement affine consiste à calculer la droite $y=ax+b$ à partir du nuage de points.
• Prévision à partir de la tendance : Une prévision à partir de la tendance consiste à utiliser la droite pour estimer une valeur future de $y$.
• **Substitution de $x** : Substituer$x$ dans l’équation revient à remplacer la variable explicative par la valeur correspondant à l’année future.

📝 Points essentiels

• Le tableau donne le nombre de participants (en milliers) au festival sur 5 ans, modélisé par un nuage de points.
• La droite d’ajustement obtenue est $y=720x+147\,70$ (équation donnée).
• Pour l’année suivante, le cours remplace $x$ par 6 dans l’équation.
• Le calcul donne $y=720\times 6+147\,70=152\,02\,?\,1$ et la valeur finale indiquée est $152\,021$ (participants en milliers).
• La prévision annoncée est donc environ $152\,021$ milliers de participants, soit environ $152\,021\times 1000$ personnes.
• L’interprétation repose sur l’idée que la tendance observée sur les 5 ans se poursuit.

💡 Astuce mémo

Année suivante : on met le prochain $x$ (ici 6) dans $y=ax+b$.

📖 5. Ventes de voitures et pertinence de l'ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Ventes mensuelles : Les ventes mensuelles constituent la variable $y$ mesurée sur une période, associée à une variable explicative $x$ (mois).
• Coefficient de détermination $R^2$ : Le coefficient de détermination $R^2$ quantifie l’adéquation entre la droite et les données.
• Ajustement non pertinent : Un ajustement non pertinent est un modèle linéaire qui n’explique pas correctement la relation observée.
• Justification par $R^2$ : Justifier consiste à relier la valeur de $R^2$ à la qualité de l’ajustement observée.

📝 Points essentiels

• Le cours demande d’ouvrir le fichier « C01-18-voitures.xlsx » et de représenter le nuage de points à deux variables.
• Un ajustement affine est réalisé et la valeur du coefficient de détermination est notée.
• La valeur donnée est $R^2=0,1$ pour les ventes de voitures.
• Avec $R^2=0,1$, l’ajustement affine est jugé non pertinent car la droite explique très peu la variabilité.
• La justification attendue s’appuie sur le fait que les points ne suivent pas une tendance linéaire nette.
• Le cours insiste sur l’idée que la pertinence ne se décide pas seulement « à l’œil » mais avec $R^2$.

💡 Astuce mémo

$R^2=0,1$ : la droite « colle » très mal.

📖 6. Abonnés d'une plateforme et prévision 2025

🔑 Notions clés & Définitions

• Abonnés par an : Le nombre d’abonnés par an est la variable $y$ à prédire à partir d’un rang ou d’une année codée en $x$.
• Ajustement affine : L’ajustement affine modélise la tendance des abonnés par une droite $y=ax+b$.
• Coefficient de détermination arrondi au millième : Le cours demande d’arrondir $R^2$ au millième pour juger la pertinence.
• Prévision d’une valeur future : La prévision d’une valeur future consiste à calculer $y$ pour l’année demandée en utilisant l’équation de la droite.

📝 Points essentiels

• Le tableau couvre le nombre d’abonnés par an de 2016 à 2020 (données utilisées pour le nuage de points).
• La droite d’ajustement obtenue est $y=17,8x+13,4$ (équation donnée).
• La valeur du coefficient de détermination est donnée : $R^2=0,946$ (arrondi au millième).
• L’ajustement affine est jugé pertinent car $R^2$ est proche de 1.
• Pour 2025, le cours remplace $x$ par la valeur correspondant à 2025 dans le codage utilisé.
• Le calcul indiqué donne $y\approx 191$ millions d’abonnés en 2025 si la tendance se poursuit.

💡 Astuce mémo

$R^2=0,946$ : tendance linéaire assez fiable → prévision possible.

📖 7. Évolution de l'ADN et prédiction à 10 heures

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité d’ADN : La quantité d’ADN mesurée en UA est la variable $y$ suivie au cours du temps.
• Temps (en heures) : Le temps écoulé depuis le début de l’expérience est la variable $x$.
• Interpolation/extrapolation : La prédiction à 10 heures consiste à prolonger la tendance observée entre 6 h et 10 h (extrapolation selon le contexte du modèle).
• Unité arbitraire (UA) : L’UA est l’unité utilisée pour exprimer la quantité d’ADN sans valeur absolue.

📝 Points essentiels

• Le tableau donne des temps : $6$, $6,5$, $7$, $8$ et la quantité d’ADN correspondante : $2$, $2,1$, $2,35$, $3,2$ (en UA).
• La question porte sur la quantité d’ADN au bout de 10 heures, donc pour $x=10$.
• La valeur annoncée est : au bout de 10 heures, il y aura $4,35$ UA d’ADN formé.
• La modélisation suppose une évolution régulière entre les mesures fournies.
• Les données sont utilisées pour construire une relation $y$ en fonction de $x$ puis prolonger jusqu’à 10 h.
• L’unité de sortie attendue est l’UA.

💡 Astuce mémo

Même unité : on lit directement la valeur en UA pour $x=10$.

📖 8. Ventes cumulées de la Switch et tendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ventes cumulées : Les ventes cumulées représentent le total des ventes depuis le lancement, modélisé par une variable $y$.
• Rang des années : Le rang $x$ code la position d’une année dans la série (1,2,3,...) pour faire un ajustement.
• Tendance linéaire : La tendance linéaire est l’hypothèse que les ventes cumulées évoluent selon une relation affine avec le rang.
• Prévision à partir de la droite : Prévoir consiste à calculer la valeur future de $y$ en remplaçant $x$ par la valeur correspondant à l’année visée.

📝 Points essentiels

• Le cours rappelle qu’entre l’année de sortie en 2002 et la fin des ventes de la Wii, la console s’est vendue à 100 millions d’exemplaires cumulés (repère de comparaison).
• Pour la Switch, le tableau donne des rangs $x=1$ à $5$ et des nombres d’abonnés (en millions) : $4$, $38$, $46$, $60$, $80$, $110 (données présentées dans le texte).
• Un second tableau donne les ventes par année (en millions) pour les années 2017 à 2021 : $1,5$, $14$, $16,5$, $20$, $27$ (avec rang 1 à 5).
• La problématique demande de comparer les ventes cumulées de la Switch à 100 millions d’exemplaires (repère Wii).
• Le cours donne une équation de droite sous la forme $y=10\,?x-10\,?\,?\,?$ (texte partiellement illisible) et indique un calcul pour $x=6$.
• La conclusion donnée est : en 2022, la Switch se sera vendue à environ $111,9$ millions d’exemplaires si la tendance se poursuit.

💡 Astuce mémo

Comparer à 100 millions : on cherche quand la prévision dépasse le repère.

📖 9. Population de tigres et effet des mesures de protection

🔑 Notions clés & Définitions

• Population de tigres : La population de tigres dans le monde est la variable $y$ suivie au fil des années.
• Mesures de protection : Les mesures de protection mises en place à partir de 1986 sont un changement de contexte utilisé pour comparer deux périodes.
• Deux séries temporelles : Le cours sépare la situation en deux tableaux : avant 1986 (tableau A) et depuis 1986 (tableau B).
• Ajustement affine par période : On réalise un ajustement affine séparé pour chaque période afin d’évaluer l’évolution de la population.

📝 Points essentiels

• Le cours indique qu’entre 1921 et 1986, la population passe de 100 000 à 15 000 tigres (valeurs données).
• Il est précisé que la disparition aurait pu se produire sans l’alerte et la mise sous protection en 1986.
• Tableau A : en 1921, 100 000 tigres ; en 1970, 38 300 ; en 1975, 33 000 ; en 1986, 15 000 (valeurs données).
• Tableau B : en 1986, 15 000 ; en 1991, 13 410 ; en 1996, 12 534 ; en 2001, 10 640 ; en 2011, 8 565 ; en 2021, 3 890 (valeurs données).
• Le cours donne un ajustement affine pour la période depuis 1986 avec une équation et un $R^2$ élevé : $F_2=0,99$ et $y=-1233,55x+...$ (équation partiellement illisible mais $R^2$ est explicite).
• La question demande l’effet des mesures : la tendance change après 1986, ce qui se lit via la comparaison des ajustements et de la qualité (notamment $R^2$).

💡 Astuce mémo

Deux périodes : avant 1986 vs après 1986 → comparer les droites.

📖 10. Prévision de disparition des tigres selon la tendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Prévision de disparition : La prévision de disparition consiste à déterminer à partir de quel rang ou quelle année la population modélisée devient nulle.
• Résolution par équation : Résoudre revient à utiliser l’équation de la droite et imposer $y=0$ pour trouver le rang correspondant.
• Rang puis année : Le cours demande d’abord un rang, puis de convertir ce rang en année à partir du tableau et du codage.
• Tendance sans protection : La tendance sans protection correspond à l’extrapolation de la droite obtenue sur la période avant 1986.

📝 Points essentiels

• Pour la période avant 1986 (tableau A), le cours demande de déterminer à partir de quel rang puis de quelle année les tigres auraient disparu si aucune protection n’avait été mise en place.
• La consigne demande d’utiliser l’équation de la droite d’ajustement et de comparer à $y=0$ (population nulle).
• Le texte indique une valeur de $R^2$ pour l’ajustement de la période avant 1986 : $R^2=0,99$ (dans la partie « effet des mesures »).
• Le cours demande ensuite de compléter le tableau B avec la tendance actuelle pour estimer l’année 2037 où les tigres seraient totalement disparus selon cette tendance.
• Pour le tableau B, une équation est donnée sous une forme partiellement lisible : $f_2=...$ et une valeur de $x$ associée à 2037 est indiquée (texte : « On trouve ... à 2037 »).
• La conclusion attendue est une année de disparition totale obtenue par extrapolation de la droite de tendance de la période correspondante.

💡 Astuce mémo

Disparition : on cherche quand la droite donne $y=0$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Pertinence selon $R^2$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $x$ et $y$ : $x$ est la variable explicative (rang/temps/ancienneté) et $y$ la valeur prédite (salaire, temps, population, etc.).
2. Utiliser la droite d’ajustement sans vérifier la pertinence : un $R^2$ faible (ex. 0,1) rend la prévision peu fiable.
3. Oublier l’arrondi demandé : dans l’exemple du salaire, le résultat est arrondi au dixième.
4. Chercher la disparition en remplaçant $x$ par une année au hasard au lieu de résoudre l’équation avec $y=0$.
5. Pour une question « moins de 5 minutes », oublier que $x$ doit être un nombre entier d’entraînements (on passe au rang entier supérieur).
6. Mélanger les deux périodes des tigres : l’extrapolation avant 1986 et celle après 1986 ne répondent pas à la même problématique.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et interpréter une droite d’ajustement $y=ax+b$ (pente et ordonnée à l’origine).
2. Savoir utiliser la droite d’ajustement pour estimer une valeur de $y$ en remplaçant $x$ (avec l’arrondi demandé).
3. Savoir déterminer un seuil à partir d’une droite (ex. trouver à partir de quand $y<5$) en tenant compte du caractère entier de $x$.
4. Savoir réaliser une prévision future en remplaçant $x$ par la valeur correspondant à l’année demandée (festival, abonnés, tigres).
5. Savoir juger la pertinence d’un ajustement affine à l’aide de $R^2$ et justifier avec la valeur obtenue.
6. Savoir résoudre une prévision de disparition en utilisant l’équation de la droite et le critère $y=0$, puis convertir rang→année.
7. Savoir distinguer les deux séries de tigres (tableau A avant 1986 et tableau B depuis 1986) et répondre à la question correspondante avec la bonne tendance.