Lernzettel: Analyse des trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinômes du second degré : définition et coefficients
2. Forme canonique et racines d’un trinôme
3. Discriminant et factorisation selon le signe
4. Signe du trinôme et résolution d’inéquations
5. Fonction trinôme : variations et extremum
6. Parabole : orientation, sommet et axe de symétrie
7. Interprétations graphiques via discriminant et signe

📖 1. Trinômes du second degré : définition et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Expression du type $P(x)=ax^2+bx+c$ définie sur $\mathbb{R}$ avec $a\neq 0$.
• Coefficients du trinôme : Les réels $a$, $b$ et $c$ sont les coefficients de $ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Le monôme de degré 2 est $ax^2$, celui de degré 1 est $bx$ et celui de degré 0 est $c$.
• Le trinôme est bien du second degré seulement si $a\neq 0$.
• Le domaine de définition considéré est $\mathbb{R}$.

📖 2. Forme canonique et racines d’un trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un réel $\alpha$ est une racine d’un polynôme si et seulement si il annule le polynôme, donc $P(\alpha)=0$.
• Forme canonique : Écriture $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels et $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Pour $P(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
• Résoudre $P(x)=0$ revient à résoudre $a(x-\alpha)^2+\beta=0$, puis à factoriser si possible.
• Si $\Delta<0$, l’expression issue de la forme canonique reste strictement positive sur $\mathbb{R}$ et ne se factorise pas en produit de facteurs du 1er degré.

📖 3. Discriminant et factorisation selon le signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel $\Delta=b^2-4ac$ associé au trinôme $ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et ne se factorise pas avec des facteurs linéaires réels.
• Si $\Delta=0$, il a une racine unique $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta>0$, il a deux racines $x_1=-\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=-\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 4. Signe du trinôme et résolution d’inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Schéma qui indique le signe de $P(x)$ selon les intervalles déterminés par les racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta=0$, $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $P(x)$ garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ car $(x-x_0)^2\ge 0$.
• Si $\Delta>0$, le signe de $P(x)$ change entre $x_1$ et $x_2$ et se lit via le tableau de signes (avec $x_1<x_2$).
• Si $\Delta<0$, $P(x)$ ne s’annule pas et garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.

📖 5. Fonction trinôme : variations et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum du trinôme : Valeur extrémale atteinte par la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ au point $x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• **Variations selon le signe de $a** : Le sens des variations de$f$dépend du signe de$a$ : la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.

📝 Points essentiels

• Pour tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse de l’extremum est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $a>0$, $f$ est strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$ et strictement décroissante sur $]-\infty,\alpha]$.
• Si $a<0$, les variations sont inversées (décroissante puis croissante) et l’extremum reste en $x=\alpha$.

📖 6. Parabole : orientation, sommet et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Point $S$ de la parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$ situé à l’abscisse $-\dfrac{b}{2a}$ et de hauteur $f\! \left(-\dfrac{b}{2a}\right)$.
• Axe de symétrie : Droite verticale $x=-\dfrac{b}{2a}$ qui partage la parabole en deux images miroir.

📝 Points essentiels

• La parabole est orientée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.
• Le sommet a pour coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a},\,f\! \left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$.
• La droite $x=-\dfrac{b}{2a}$ est l’axe de symétrie : les points symétriques par rapport à cette droite appartiennent à la parabole.

📖 7. Interprétations graphiques via discriminant et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection avec l’axe des abscisses : Relation entre le discriminant et le nombre de points où la parabole coupe la droite $(Ox)$.
• Position relative par rapport à (Ox) : Relation entre le signe de $ax^2+bx+c$ sur un intervalle et la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, la parabole ne coupe pas $(Ox)$ ; si $\Delta=0$, elle coupe $(Ox)$ en un seul point d’abscisse $x_0$ ; si $\Delta>0$, elle coupe $(Ox)$ en deux points d’abscisses $x_1$ et $x_2$.
• Si pour tout $x\in I$, $ax^2+bx+c\ge 0$, alors la parabole est au-dessus de $(Ox)$ sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$, $ax^2+bx+c<0$, alors la parabole est strictement en-dessous de $(Ox)$ sur $I$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et valeur du trinôme $P(x)$ : $\Delta$ ne dépend pas de $x$.
2. Oublier que $a\neq 0$ : sinon ce n’est pas un trinôme du second degré.
3. Se tromper de sens des variations quand $a<0$ : les variations s’inversent par rapport au cas $a>0$.
4. Mélanger les formules des racines : $x_1$ et $x_2$ correspondent aux signes $\pm\sqrt{\Delta}$ au numérateur.

✅ Checklist Examen

1. Identifier un trinôme du second degré sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ et donner ses coefficients.
2. Donner la définition d’une racine et relier $P(\alpha)=0$ à la résolution de $P(x)=0$.
3. Écrire la forme canonique $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
4. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et conclure : $\Delta<0$, $\Delta=0$, $\Delta>0$ avec les bonnes racines et factorisations.
5. Déterminer le signe de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$ selon $\Delta$ et le signe de $a$, puis résoudre une inéquation du second degré en utilisant les intervalles.
6. Pour une fonction trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, donner l’abscisse de l’extremum $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et le sens des variations selon le signe de $a$.
7. Décrire la parabole : orientation (haut/bas), sommet $\left(-\dfrac{b}{2a},f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ et axe $x=-\dfrac{b}{2a}$.
8. Interpréter graphiquement via $\Delta$ : nombre d’intersections avec $(Ox)$ et via le signe : position au-dessus/au-dessous de $(Ox)$ sur un intervalle.