Lernzettel: Analyse des variations et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Étude de fonction et variations
2. Affixes et argument complexe
3. Équation logarithmique
4. Équation différentielle du premier ordre

📖 1. Étude de fonction et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée d’une fonction mesure son taux de variation local et permet de prévoir le sens des variations.
• Signe de y' : Le signe de la dérivée sur un intervalle indique si la fonction est croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Variations : Les variations décrivent comment la fonction augmente ou diminue quand la variable parcourt un intervalle.

📝 Points essentiels

• Sur [0,+∞[, on a y'(t)=6e^{-t}(1-t) et comme 6e^{-t}>0, le signe de y'(t) dépend uniquement de (1-t).
• y'(t)>0 pour 0≤t<1, y'(1)=0 et y'(t)<0 pour t>1, donc y croît puis décroît.
• La fonction est croissante sur [0,1] puis décroissante sur [1,+∞[ grâce au changement de signe de y'.
• Le point t=1 est un extremum de y car y' s’annule en changeant de signe.

💡 Astuce mémo

e^{-t} est toujours positif, donc seul (1-t) décide si y monte ou descend.

📖 2. Affixes et argument complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe d’un point du plan est le nombre complexe associé à sa position dans un repère.
• Argument : L’argument d’un nombre complexe correspond à une mesure de l’angle entre l’axe réel positif et le segment représentant le complexe.
• Quotient de complexes : Le quotient zA/zB combine les angles et les modules, ce qui permet de déduire un argument pour le résultat.

📝 Points essentiels

• On donne z_A=e^{iπ/3} et z_B=e^{-iπ/3}, tous deux de module 1 car ce sont des exponentielles purement imaginaires.
• Un argument de (z_A/z_B) est π/3.
• Pour choisir correctement la figure, A et B sont situés sur un même cercle (module identique) et symétriques par rapport à l’axe réel.

💡 Astuce mémo

zA et zB ont le même module : ils sont sur un même cercle, l’argument dépend seulement de l’angle (±π/3).

📖 3. Équation logarithmique

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine : Le domaine d’une équation logarithmique impose que chaque argument des ln soit strictement positif.
• Propriétés des logarithmes : Les logarithmes transforment des produits et des rapports en sommes et différences de ln.
• Égalité de deux ln : Si ln(u)=ln(v) et si u et v sont positifs, alors u=v.

📝 Points essentiels

• Sur ]1,+∞[, on a x>1 donc x-1>0, x+1>0 et x>0, ce qui rend toutes les expressions à l’intérieur des ln valides.
• On regroupe le membre de gauche : ln(x-1)+ln(x+1)+ln(x)=ln(x(x^2-1)).
• On regroupe le membre de droite : ln(x^2-1)-ln(0,5)=ln( (x^2-1)/0,5 )=ln(2(x^2-1)).
• Comme x(x^2-1)=2(x^2-1) et x^2-1>0, on obtient x=2, solution dans ]1,+∞[.

💡 Astuce mémo

Même ln des deux côtés ⇒ mêmes “quantités à l’intérieur”, puis division possible car x^2-1>0 sur ]1,+∞[.

📖 4. Équation différentielle du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire : Une équation différentielle linéaire du premier ordre relie y’ à y et à une fonction connue, de façon affine.
• Solution particulière : Une solution particulière satisfait l’équation pour la partie non homogène sans généraliser les constantes.
• Solution homogène : La solution homogène résout l’équation sans second membre et porte une constante multiplicative.

📝 Points essentiels

• L’équation (E) est y'=-y+2, donc elle s’écrit y'+y=2.
• La solution générale est y(t)=2+Ce^{-t}, avec C constante réelle.
• La condition y(0)=0 donne 0=2+C, donc C=-2.
• La solution demandée s’annule en 0 est y(t)=2-2e^{-t}.

💡 Astuce mémo

Forme y'+y=2 : une solution constante vaut 2, puis on ajoute Ce^{-t} pour corriger l’homogène.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le signe de y'(t) : 6e^{-t} est toujours positif, donc il ne faut pas inverser le sens avec (1-t).
2. Oublier que l’intervalle contient t=1 : y'(1)=0 mais c’est le changement de signe autour de 1 qui détermine les variations.
3. Pour les arguments, mélanger module et argument : e^{iθ} a module 1, donc la position angulaire dépend seulement de θ.
4. En équation logarithmique, oublier le domaine : si x≤1, alors ln(x-1) n’est pas défini.
5. Diviser par x^2-1 sans vérifier qu’il est strictement positif : ici c’est possible seulement sur ]1,+∞[.
6. En EDO, perdre le signe dans y'+y=2 ou dans la solution homogène Ce^{-t}, ce qui change totalement la fonction finale.

✅ Checklist Examen

1. Étudier le signe de y'(t) pour y'(t)=6e^{-t}(1-t) sur [0,+∞[ en ne faisant dépendre le signe que de (1-t).
2. Déterminer le sens de variations de y sur [0,1] puis sur [1,+∞[ en utilisant le changement de signe de y'.
3. Identifier les affixes z_A=e^{iπ/3} et z_B=e^{-iπ/3} et conclure qu’ils ont le même module.
4. Déterminer un argument de z_A/z_B en utilisant la règle d’argument sur un quotient pour obtenir π/3.
5. Vérifier le domaine de l’équation ln(x-1)+ln(x+1)+ln(x) en imposant x>1.
6. Regrouper correctement le membre de gauche en un seul ln via ln(a)+ln(b)=ln(ab).
7. Regrouper correctement le membre de droite en un seul ln via ln(A)-ln(B)=ln(A/B) et traiter ln(0,5) comme ln(1/2).
8. Résoudre ln(…) = ln(…) sur le domaine en passant à l’égalité des arguments positifs et en conclure x=2.
9. Écrire l’EDO y'=-y+2 sous la forme y'+y=2.
10. Trouver la solution générale y(t)=2+Ce^{-t} pour y'+y=2.
11. Appliquer la condition y(0)=0 pour déterminer C.
12. Écrire la solution particulière demandée : y(t)=2-2e^{-t}.