Quiz: Analyse des variations et extrema locaux — 12 Fragen

1. Quel lien permet de conclure qu’une fonction est croissante sur un intervalle ?

A. Sa dérivée est positive sur cet intervalle

B. Sa dérivée est nulle en un point de l’intervalle

C. Sa dérivée est négative sur cet intervalle

D. Sa dérivée change de signe sur cet intervalle

Answer: (A)

Erklärung

Une fonction est croissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est positive. Une dérivée négative correspond au contraire à une décroissance.

2. Que peut-on affirmer d’une fonction dont la dérivée est nulle sur tout un intervalle ?

A. Elle admet forcément un extremum local

B. Elle est décroissante sur cet intervalle

C. Elle est constante sur cet intervalle

D. Elle est croissante sur cet intervalle

Answer: (C)

Erklärung

Si la dérivée est nulle sur un intervalle, la fonction y est constante. Cela ne signifie pas à lui seul qu’un extremum local est présent en un point précis.

3. Quelle formulation décrit correctement un maximum local en un point c ?

A. Dans tout l’ensemble de définition, les valeurs de la fonction ne dépassent pas f(c)

B. Dans un voisinage de c, les valeurs de la fonction ne dépassent pas f(c)

C. La dérivée est positive de part et d’autre de c

D. Dans un voisinage de c, les valeurs de la fonction restent strictement au-dessus de f(c)

Answer: (B)

Erklärung

Un maximum local signifie qu’autour de c, la fonction ne prend pas de valeur supérieure à f(c). La propriété est locale, pas globale.

4. Quelle condition caractérise un minimum local en c ?

A. La fonction est constante sur tout son domaine

B. La dérivée est toujours positive en c

C. Dans un voisinage de c, on a f(x) ≤ f(c)

D. Dans un voisinage de c, on a f(x) ≥ f(c)

Answer: (D)

Erklärung

Un minimum local est un point où les valeurs voisines de la fonction ne descendent pas en dessous de f(c). L’inégalité opposée correspond à un maximum local.

5. Pourquoi le signe de f'(x) est-il lié à celui de l’accroissement f(x+h)-f(x) pour h>0 ?

A. Parce que la dérivée est la limite du quotient de cet accroissement par h

B. Parce que l’accroissement remplace la dérivée dans tous les cas

C. Parce que le signe de la dérivée ne dépend pas de h

D. Parce que f(x+h)-f(x) est toujours nul quand h>0

Answer: (A)

Erklärung

La dérivée est définie comme la limite du quotient des accroissements, ce qui relie directement le signe de f'(x) à celui de f(x+h)-f(x) lorsque h>0. C’est le cœur de la preuve du lien entre variation et signe.

6. Si une fonction est décroissante sur un intervalle, que peut-on dire de sa dérivée sur cet intervalle ?

A. Elle est positive

B. Elle est nulle

C. Elle change nécessairement de signe

D. Elle est négative

Answer: (D)

Erklärung

Pour une fonction décroissante, les accroissements sont négatifs quand x augmente, donc la dérivée est ≤ 0 sur l’intervalle. Le signe positif correspond au cas croissant.

7. Quel énoncé résume le critère d’existence d’un extremum local en c ?

A. f'(c)=0 suffit à lui seul

B. f(c)=0 et f' est positive autour de c

C. f' est nulle sur tout l’intervalle

D. f'(c)=0 et f' change de signe en c

Answer: (D)

Erklärung

Un extremum local existe en c si et seulement si la dérivée s’annule en c et change de signe en ce point. L’annulation seule ne suffit pas.

8. Pourquoi le fait que f'(c)=0 ne permet-il pas à lui seul de conclure à un extremum local ?

A. Parce que f'(c)=0 signifie forcément que f est constante

B. Parce qu’il faut aussi un changement de signe de f' autour de c

C. Parce qu’un extremum local dépend seulement de la valeur de f(c)

D. Parce qu’une dérivée nulle interdit tout extremum

Answer: (B)

Erklärung

Le cours précise que l’annulation de f' est nécessaire mais pas suffisante : il faut un changement de signe au voisinage de c. Sans ce changement, il peut ne pas y avoir d’extremum.

9. Quelle est la première étape de la méthode du tableau de variation ?

A. Chercher d’abord les valeurs de f aux bornes

B. Tracer directement les flèches de variation de f

C. Déterminer l’expression de f' sur l’intervalle étudié

D. Résoudre l’équation f(x)=0

Answer: (C)

Erklärung

La méthode commence par calculer la dérivée de la fonction sur l’intervalle. Les signes de f' permettront ensuite de construire le tableau de signes puis le tableau de variation.

10. À quoi sert le tableau de signes de f' dans la méthode du tableau de variation ?

A. À repérer les intervalles où f est croissante, décroissante ou constante

B. À calculer directement les extremums absolus

C. À trouver les zéros de f sans dériver

D. À déterminer uniquement l’ordonnée à l’origine

Answer: (A)

Erklärung

Le tableau de signes de f' sert à traduire ses signes en sens de variation de f. C’est l’étape intermédiaire entre la dérivation et le tableau de variation final.

11. Quelle est la dérivée de f(x)=x²−2x ?

A. x²−2

B. 2x+2

C. 2x−2

D. x−2

Answer: (C)

Erklärung

En dérivant x²−2x, on obtient 2x−2. Cette expression permet ensuite d’étudier les signes de f'.

12. Que peut-on conclure pour la fonction f(x)=x²−2x lorsque x≥1 ?

A. Elle est décroissante

B. Elle est constante

C. Elle est croissante

D. Elle admet un maximum local pour tout x≥1

Answer: (C)

Erklärung

Comme f'(x)=2x−2, on a f'(x)≥0 lorsque x≥1, donc f est croissante à partir de 1. À gauche de 1, la dérivée est négative et la fonction décroît.