Analyse du comportement asymptotique des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites vers l'infini
2. Comportement asymptotique
3. Limite en zéro
4. Asymptote verticale
5. Valeurs de la fonction

📖 1. Limites vers l'infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite vers l'infini : La valeur que la fonction $f(x)$ approche lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Notée $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

• Tendance vers l'infini : Lorsqu'une fonction $f(x)$ croît ou décroît sans limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Par exemple, $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$.

• Asymptote verticale : Droite $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. La courbe de $f$ se rapproche de cette droite sans la toucher.

• Asymptote horizontale : Droite $y = L$ telle que $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$. La courbe de $f$ se rapproche de cette droite lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$.

• Exploitation des limites : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, on dit que la fonction tend vers l'infini en $a$, souvent pour analyser le comportement de la courbe près d'une asymptote verticale.

📝 Points essentiels

• La limite vers l'infini permet d'étudier le comportement asymptotique d'une fonction lorsque $x$ devient très grand ou très petit.

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, il existe une asymptote verticale en $x=a$.

• Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (fini), la fonction possède une asymptote horizontale $y=L$.