Lernzettel: Analyse du second degré : formes, discriminant et racines

📋 Plan du Cours

1. Forme développée du second degré
2. Forme canonique et variations
3. Discriminant et absence de racines
4. Discriminant nul et racine double
5. Discriminant positif et factorisation

📖 1. Forme développée du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie par un trinôme du type ax²+bx+c avec a réel non nul et b,c réels pour tout réel x.
• Forme développée : Écriture ax²+bx+c d’une fonction polynôme du second degré, obtenue sans regrouper autrement les termes.
• Coefficient c : Terme constant du trinôme, égal à la valeur de la fonction en x=0.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.
• On a c=f(0).
• Dans un repère orthogonal, la courbe d’une telle fonction est une parabole, ouverte vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

💡 Astuce mémo

Ax² porte l’ouverture : a>0 haut, a<0 bas.

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture f(x)=a(x−α)²+β d’une fonction polynôme du second degré, où α et β sont réels.
• Sommet : Point de coordonnées (α,β) associé à la forme canonique, atteignable via le minimum ou le maximum selon le signe de a.
• Variations selon le signe de a : Détermination des intervalles de décroissance et de croissance d’après la valeur de a dans la forme f(x)=a(x−α)²+β.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=ax²+bx+c avec a≠0, il existe α et β tels que f(x)=a(x−α)²+β.
• Si a>0, f est strictement décroissante sur ]−∞;α] et strictement croissante sur [α;+∞[.
• Si a<0, f est strictement croissante sur ]−∞;α] et strictement décroissante sur [α;+∞[.
• Le minimum sur ℝ vaut β quand a>0 et il est atteint en x=α.
• Le maximum sur ℝ vaut β quand a<0 et il est atteint en x=α.

💡 Astuce mémo

a>0 : la parabole creuse (minimum en α) ; a<0 : bosse (maximum en α).

📖 3. Discriminant et absence de racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre Δ associé à l’équation ax²+bx+c=0, défini par Δ=b²−4ac.
• Condition Δ<0 : Cas où le discriminant est négatif, conduisant à l’absence de solutions réelles.
• Signe de f quand Δ<0 : Propriété indiquant que la valeur de f(x)=ax²+bx+c garde le signe de a pour tout réel x.

📝 Points essentiels

• Δ=b²−4ac pour l’équation ax²+bx+c=0.
• Si Δ<0, l’équation n’a pas de solutions dans ℝ.
• Si Δ<0, f(x) ne peut pas être factorisée dans ℝ.
• Si Δ<0, pour tout réel x, f(x) est du signe de a.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : pas de facteur réel, donc f(x) ne change jamais de signe.

📖 4. Discriminant nul et racine double

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition Δ=0 : Cas où l’équation du second degré admet exactement une solution réelle.
• Racine double : Solution unique x0 qui apparaît comme un facteur carré dans l’expression de f(x) quand Δ=0.
• Forme en (x−x0)² : Expression de f(x) sous la forme a(x−x0)² lorsque le discriminant est nul.

📝 Points essentiels

• Si Δ=0, l’équation admet une unique solution réelle x0.
• Si Δ=0, pour tout réel x, f(x)=a(x−x0)².
• Pour tout réel x≠x0, f(x) est du signe de a.
• Quand Δ=0, x0=−b/(2a).
• Relation coefficients-racine : b=−2ax0 et c=a·x0².

💡 Astuce mémo

Δ=0 : une seule racine, donc f(x) = a(x−x0)².

📖 5. Discriminant positif et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition Δ>0 : Cas où le discriminant est positif, entraînant l’existence de deux solutions réelles distinctes.
• Factorisation dans ℝ : Écriture de f(x) sous la forme produit a(x−x1)(x−x2) quand Δ>0.
• Signe entre et à l’extérieur des racines : Règle de détermination du signe de f(x) selon que x se situe entre x1 et x2 ou à l’extérieur.

📝 Points essentiels

• Si Δ>0, l’équation admet deux solutions réelles x1 et x2.
• Pour Δ>0, x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a).
• Si Δ>0, pour tout réel x, f(x)=a(x−x1)(x−x2).
• Pour x extérieur aux racines, f(x) est du signe de a.
• Pour x entre les racines, f(x) est du signe de −a.
• Relations coefficients-racines : b=−a(x1+x2) et c=a·x1·x2.

💡 Astuce mémo

Entre les racines : signe basculé (−a) ; dehors : signe de a.

📊 Tableaux de synthèse

Variations et extremum selon le signe de a

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant Δ=b²−4ac avec une autre expression (notamment l’ordre de 4ac).
2. Oublier que a doit être non nul dans une fonction polynôme du second degré et dans les formules (division par 2a, etc.).
3. Croire que Δ<0 implique des racines réelles : Δ<0 signifie aucune solution dans ℝ.
4. Mélanger les rôles de α et β en forme canonique : α correspond à l’endroit de l’extrémum, β à sa valeur.
5. Inverser le sens des variations quand a<0 (le décroissement et le croisement en α s’inversent).
6. Dire que pour Δ=0, il y a deux racines distinctes : il y a une seule racine réelle x0 (racine double).
7. Se tromper sur le signe de f entre les racines pour Δ>0 : entre x1 et x2, le signe est celui de −a et pas celui de a.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction polynôme du second degré et écrire f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.
2. Savoir utiliser c=f(0) pour identifier le terme constant.
3. Être capable d’indiquer l’ouverture de la parabole : vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.
4. Savoir passer à la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β et identifier le sommet (α,β).
5. Dresser correctement les intervalles de variations selon le signe de a (croissance/décroissance autour de α).
6. Donner l’extremum sur ℝ : minimum = β si a>0, maximum = β si a<0, atteint en x=α.
7. Calculer le discriminant Δ=b²−4ac et l’utiliser pour conclure sur l’existence de solutions réelles.
8. Traiter le cas Δ<0 : absence de solutions réelles, impossibilité de factoriser dans ℝ, et signe de f(x) égal au signe de a.
9. Traiter le cas Δ=0 : unique solution x0=−b/(2a), écriture f(x)=a(x−x0)², et signe de f(x) pour x≠x0.
10. Traiter le cas Δ>0 : deux solutions x1,x2 via la formule avec √Δ, factorisation f(x)=a(x−x1)(x−x2), et règle de signe dehors/entre racines.
11. Savoir utiliser les relations coefficients-racines : b=−2ax0 et c=a·x0² si Δ=0 ; b=−a(x1+x2) et c=a·x1·x2 si Δ>0.